問題
ある地域で発生した感染症A について，次の感染モデルを考える。
感染症 A は，1 日に感染者 1 人から他者 1 人に感染する。
以下では，感染症 A に感染した翌日から数えて日目を「感染
）ということにする。
感染症 A は，対策を講じなければ，感染 1 日目から 3 日間は 1 日に感染者 1 人から他者 1 人に感染し，感染 4 日目の感染者からは感染せず，感染 5 日目に回復して感染症 A の感染者ではなくなる。
また，調査 1 日目に新規感染者が 1 人いたとする。
このモデルの下での感染者数は，調査 1 日目 1 人，調査 2 日目 2 人，調査 3 日目 4 人，調査 4 日目 8 人，調査 5 日目 14 人となる。
地域住民の数が十分に多いと仮定して，次の問いに答えよ。
ただし，他地域からの感染等，感染モデルに含まれないその他一切の影響を考えなくてよいものとする。(1) 上記感染モデルの下での調査 10 日目の感染者数および新規感染者数を求めよ。
(2) 地域住民全員が感染予防対策を施していれば，感染 3 日目以降の感染症 A も他者に感染することはない。
この修正モデルの下での調査 10 日目の感染者数および新規感染者数を求めよ。(3) 地域住民全員が感染予防対策を施し，さらにワクチンを接種していれば，感染 2 日目以降の感染症 A も他者に感染することはない。
この修正モデルの下での調査 10 日目の感染者数および新規感染者数を求めよ。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
(1)を通じて設定を理解する
条件が複雑なのでいったん整理しましょう。
感染者数はいつ調べるかによって人数が変わりますが，それでは問題設定として不適切なので毎日 1 日の終りに調べるものとします。
- 感染 0 日目の人は他人にはうつさない
- 感染 1 日目～3 日目の人は他人にうつす
- 感染 4 日目の人は他人にはうつさない
- 感染 5 日目に回復する。この人は感染者としてはカウントされない
調査 日目に感染 0～4 日目の人がそれぞれ
～
人いるとして漸化式を立てます。
\begin{align*}
&a_n=b_{n}+c_{n}+d_{n}\\
&b_n=a_{n-1},\, c_n=b_{n-1},\, d_{n}=c_{n-1},\, e_{n}=d_{n-1}
\end{align*}
初期条件は「調査 1 日目に新規感染者が 1 人」「感染者数は，調査 1 日目 1 人」から求めます。
1 人だけいる感染者が感染何日目の人なのか不明ですが，フィボナッチ数と同じように考えると次のように解釈するのが自然だと思います。
「調査 0 日目は感染 0 日目の人が 1 人いるだけ。調査 1 日目にはこの人が感染 1 日目になって，他の人にうつす」
初期条件は ,
です。
上のように考えると調査 1 日目の新規感染者 1 人と感染者 1 人は別の人なので，「新規感染者と感染者数は別カウント」ということになります。
調査 日目の感染者数を
とおくと
で，新規感染者数は
人です。
表は次のようになります。
調査 10 日目の感染者数は 人で，新規感染者数は
人です。
(2)(3)は漸化式がちがうだけ
(2)について
(2)は の漸化式が
に変わります。
\begin{align*}
&a_n=b_{n}+c_n,\, b_n=a_{n-1}\\
&c_n=b_{n-1},\, d_{n}=c_{n-1},\, e_{n}=d_{n-1}\\
&a_1=b_1=1,\, c_1=d_1=e_1=0\\
&x_n=b_n+c_n+d_n+e_n
\end{align*}
表は次のようになって調査 10 日目の感染者数は 人で，新規感染者数は
人です。
(3)について
(3)は の漸化式が
に変わります。
\begin{align*}
&a_n=b_{n},\, b_n=a_{n-1}\\
&c_n=b_{n-1},\, d_{n}=c_{n-1},\, e_{n}=d_{n-1}\\
&a_1=b_1=1,\, c_1=d_1=e_1=0\\
&x_n=b_n+c_n+d_n+e_n
\end{align*}
途中から になります。
調査 10 日目の感染者数は 人で，新規感染者数は
人です。
wikipediaを見てみる
英語版 wikipedia のフィボナッチ数の記事には次のように書かれています。
うさぎが子供を生むのは月の終わりなので，つがいの数を数えるのも月の終わりです。
Fibonacci considers the growth of an idealized (biologically unrealistic) rabbit population,
assuming that: a newly born breeding pair of rabbits are put in a field; each breeding pair mates at the age of one month,
and at the end of their second month they always produce another pair of rabbits; and rabbits never die,
but continue breeding forever. Fibonacci posed the puzzle: how many pairs will there be in one year?
