x e^(-3x)とx^2 e^(-3x)の積分 / 2022 杏林大学第2問

問題
(1)前半について
- 原始関数を予想する
- 置換する
(1)後半について
(2)について

問題

$\fbox{ツ}$ 解答は該当する解答群から最も適当なものを一つ選べ。
自然対数の底を $e$ として，以下の問いに答えよ。
(1)　 $C$ を積分定数として，指数関数と単項式の不定積分について，次式が成り立つ。
\begin{align*}
&\int xe^{-3x}dx=-\left(\frac{\fbox{ア}x+\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}\right)e^{-3x}+C\\[5pt]
&\int x^2e^{-3x}dx=-\left(\frac{\fbox{エ}x^2+\fbox{オ}x+\fbox{カ}}{\fbox{キク}}\right)e^{-3x}+C
\end{align*}
また，定積分について，
\begin{align*}
\int_0^1 |\, (9x^2-1)e^{-3x}|\, dx=\frac{1}{\fbox{ケ}}\left(-1+\fbox{コ}e^{\fbox{サシ}}-\fbox{スセ}e^{-3}\right)
\end{align*}
が成り立つ。
(2)　 $p$ , $q$ , $r$ を実数の定数とする。
関数 $f(x)=(px^2+qx+r)e^{-3x}$ が $x=0$ で極大， $x=1$ で極小となるための必要十分条件は，
\begin{align*}
p=\fbox{ソタ},\, q=\fbox{チ}r,\, \fbox{ツ}
\end{align*}
である。さらに， $f(x)$ の極小値が $-1$ であるとすると， $f(x)$ の極大値は $\frac{\displaystyle e^{\fbox{テ}}}{\fbox{ト}}$ となる。
このとき， $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$ である。
$\fbox{ツ}$ の解答群

$r>0$

$r=0$

$r<0$

$r>1$

$r=1$

$r<1$

$r>\frac{1}{3}$

$r=\frac{1}{3}$

$r<\frac{1}{3}$

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

(1)前半について

原始関数を予想する

(1)前半は部分積分の問題です。
公式を使って計算するだけですが $e^{-3x}$ を微分するたびに $-3$ が出てくるのと，公式中の $-$ 掛け算で間違えそうなので私なら原始関数を予想して解きます。

$xe^{-3x}$ の原始関数を $a(x)$ とおきます。

$a'(x)=xe^{-3x}$ なので $a(x)$ は多項式と $e^{-3x}$ の積だと予想できます。
$g(x)$ を多項式として $a(x)=g(x)e^{-3x}$ とおきます。
\begin{align*}
a'(x)=g'(x)e^{-3x}+g(x)(-3)e^{-3x}=\left\{g'(x)-3g(x)\right\}e^{-3x}=xe^{-3x}
\end{align*}

$g'(x)-3g(x)=x$ から $g(x)$ は 1 次式で，1 次の係数は $-\frac{1}{3}$ だと予想できます。
$g(x)=-\frac{1}{3}x+k$ とおきます。
\begin{align*}
g'(x)-3g(x)=-\frac{1}{3}-3\left(-\frac{1}{3}x+k\right)=x
\end{align*}

定数項を比較すると $-\frac{1}{3}-3k=0$ から $k=-\frac{1}{9}$ がわかります。
\begin{align*}
\therefore \int xe^{-3x}dx &=\left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}\right)e^{-3x}+C\\[5pt]
&=-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}+C
\end{align*}

$x^2e^{-3x}$ についても同様です。原始関数を $b(x)=h(x)e^{-3x}$ とおきます。
\begin{align*}
b'(x)=h'(x)e^{-3x}+h(x)(-3)e^{-3x}=\left\{h'(x)-3h(x)\right\}e^{-3x}=x^2e^{-3x}
\end{align*}

$h'(x)-3h(x)=x^2$ から $h(x)$ は 2 次式で，2 次の係数は $-\frac{1}{3}$ だと予想できます。
$h(x)=-\frac{1}{3}x^2+lx+m$ とおきます。
\begin{align*}
h'(x)-3h(x)=-\frac{2}{3}x+l-3\left(-\frac{1}{3}x^2+lx+m\right)=x^2
\end{align*}

両辺の係数を比較すると $l=\frac{2}{9}$ , $m=-\frac{2}{27}$ がわかります。
\begin{align*}
\therefore \int x^2e^{-3x}dx &=\left(-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{9}x-\frac{2}{27}\right)e^{-3x}+C\\[5pt]
&=-\frac{9x^2+6x+2}{27}e^{-3x}+C
\end{align*}

置換する

$e^{-3x}$ の微分で $-3$ が出てくるのが嫌なら $-3x=t$ と置換すればいいです。
$-3dx=dt$ より次のようになります。
\begin{align*}
&\int xe^{-3x}dx=\int \frac{t}{-3}\cdot e^{t}\,\frac{dt}{-3}=\frac{1}{9}\int te^{t}\, dt\\[5pt]
&\int x^2e^{-3x}dx=\int \left(\frac{t}{-3}\right)^2 e^{t}\, \frac{dt}{-3}=-\frac{1}{27}\int t^2e^{t}\, dt
\end{align*}

これらを部分積分公式で処理します。積分定数を $C_1$ , $C_2$ とします。
\begin{align*}
&\begin{aligned}
\int te^{t}\, dt &=\int t(e^{t})' dt=te^t-\int 1\cdot e^t\, dt\\
&=te^t-e^t+C_1=(t-1)e^t+C_1=(-3x-1)e^{-3x}+C_1
\end{aligned}\\[5pt]
&\therefore \int xe^{-3x}dx=-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}+C
\end{align*}

\begin{align*}
&\begin{aligned}
\int t^2e^{t}\, dt &=\int t^2(e^{t})' dt=t^2e^t-\int 2t\cdot e^t\, dt\\
&=t^2e^t-2\left\{(t-1)e^t+C_1\right\}=(t^2-2t+2)e^t+C_2\\
&=(9x^2+6x+2)e^{-3x}+C_2
\end{aligned}\\[5pt]
&\therefore \int x^2e^{-3x}dx=-\frac{9x^2+6x+2}{27}e^{-3x}+C
\end{align*}

(1)後半について

まず絶対値を外します。
\begin{align*}
&\int_0^1 |\, (9x^2-1)e^{-3x}|\, dx
=\int_0^{\frac{1}{3}} -(9x^2-1)e^{-3x}dx+\int_{\frac{1}{3}}^1 (9x^2-1)e^{-3x}dx
\end{align*}

このまま計算してもいいのですが， $x^2e^{-3x}$ の原始関数に $x=\frac{1}{3}$ を 2 回代入するのが嫌だったので原始関数をいったん $b(x)$ であらわして計算しました。
\begin{align*}
\int_0^1 |\, (9x^2-1)e^{-3x}|\, dx
&=\left[-9b(x)-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_0^{\frac{1}{3}}+\left[9b(x)+\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{\frac{1}{3}}^1\\
&=9\left\{b(1)-2\, b\left(\frac{1}{3}\right)+b(0)\right\}-\frac{1}{3}(2e^{-1}-e^{-3}-1)\\
&=\frac{1}{3}\left(-1+\frac{8}{e}-\frac{16}{e^3}\right)
\end{align*}

(2)について

$f'(x)$ の符号に注目します。
\begin{align*}
f'(x)=\left\{-3px^2+(2p-3q)x+q-3r\right\}e^{-3x}
\end{align*}

$f(x)$ が $x=0$ で極大， $x=1$ で極小になる条件は $f'(x)$ の符号が $x=0$ の前後で「正→負」と変化し， $x=1$ の前後で「負→正」と変化することです。

$y=-3px^2+(2p-3q)x+q-3$ のグラフをイメージしましょう。これは下に凸な 2 次関数で $x=0$ , 1 で 0 になります。

下に凸な条件は $-3p>0$ より $p<0\mbox{　……(A)}$

$x=0$ , 1 で 0 になる条件は $-3px^2+(2p-3q)x+q-3=0$ の解と係数の関係から
\begin{align*}
0+1=\frac{2p-3q}{3p},\, 0\cdot 1=\frac{q-3r}{-3p}\mbox{　……(B)}
\end{align*}

(A)(B)を整理すると $p=-9r$ , $q=3r$ , $r>0$ を得ます。

このとき $f(x)=r(-9x^2+3x+1)e^{-3x}$ です。

$f(1)=-1$ のとき $-5re^{-3}=-1$ より $r=\frac{e^3}{5}$ なので極大値は $f(0)=r=\frac{e^3}{5}$

最後の積分は計算量が多いので(1)の定積分と同じように解きました。
$xe^{-3x}$ , $x^2e^{-3x}$ の原始関数 $a(x)$ , $b(x)$ を使って項ごとに計算します。
\begin{align*}
\int_0^1 f(x)\, dx &=r\int_0^1 (-9x^2+3x+1)e^{-3x}\, dx\\
&=r\left[-9b(x)+3a(x)-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_0^1\\
&=r\left[-9\left\{b(1)-b(0)\right\}+3\left\{a(1)-a(0)\right\}-\frac{1}{3}(e^{-3}-1)\right]\\
&=r\cdot 4e^{-3}=\frac{4}{5}
\end{align*}

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