問題
である。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
これは小問集合の 1 問です。1 つ前も積分の問題でしたが，難易度がかなり違うように感じたので解説を書きたいと思います。
「1 つ前の問題の説明」→「普通（？）の解法」→「個人的に本命だと思う解法」の順に解説します。
1 つ前の問題
まず 1 つ前の問題の解説から。次のような問題です。
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{9+7\tan |x|}\cos^2 x}=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}
\end{align*}
被積分関数は偶関数なので積分区間を半分にできます。
そして と置換するときれいな形になって解けます。これは易しい問題でした。
\begin{align*}
&\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{9+7\tan |x|}\cos^2 x}=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{9+7\tan x}\cos^2 x}\\
&=2\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{9+7t}}=2\left[\frac{2}{7}\sqrt{9+7t}\right]_0^1={\frac{4}{7}}
\end{align*}
邪魔な sin をどうにかする
同じことを次の問題（冒頭にあげた問題）でやろうとすると，分母の が邪魔になります。
これをどうするかがこの問題のポイントです。
分母の sin を cos^2 に変える
を作るために分母と分子に
をかけて
を使います。
\begin{align*}
\text{(与式)} &=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}
\frac{\sqrt{4+5\tan |x|}}{1-\sin x}\cdot \frac{1+\sin x}{1+\sin x}\,dx\\
&=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan |x|}}{\cos^2 x}(1+\sin x)\,dx\\
&=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan |x|}}{\cos^2 x}\,dx
+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan |x|}}{\cos^2 x}\sin x\,dx\\
&=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan x}}{\cos^2 x}\,dx
\end{align*}
最後の変形では被積分関数が第 1 項では偶関数で，第 2 項では奇関数であることを使いました。
あとは と置換すると解けます。
\begin{align*}
\text{(与式)} &=2\int_0^{1} \sqrt{4+5t}\, dt=2\left[\frac{2}{15}(4+5t)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1={\frac{76}{15}}
\end{align*}
置換して偶関数にする
計算法をもう 1 つ紹介します。与式を とおいて
と置換します。
\begin{align*}
I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan |t|}}{1+\sin t}(-dt)
=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan |t|}}{1+\sin t}\,dt
\end{align*}
これともとの を足すと
が消えて偶関数になります。
\begin{align*}
&\begin{aligned}
2I &=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}
\sqrt{4+5\tan |x|}\left(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right) dx\\[3pt]
&=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{4+5\tan |x|}\cdot\frac{2}{1-\sin^2 x}\,dx\\[3pt]
&=4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan x}}{\cos^2 x}\,dx
\end{aligned}\\[3pt]
&\therefore I=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{4+5\tan x}}{\cos^2 x}\,dx
\end{align*}
このあとの計算はさっきと同じなので省略します。
個人的にはこの解法が本命じゃないかと思いますが，気づきにくいかもしれません。
1 つ前の問題にひっぱられていきなり と置換してつまる人が多そうな気がします。
