三角関数の関数列と確率 / 2016 大阪大学・文系第3問

問題
(1)について
一般項について
(2)について

問題

1 以上 6 以下の 2 つの整数 $a$ , $b$ に対し，関数 $f_n(x)\ (n=1,\, 2,\, 3,\, \cdots)$ を次の条件(ア), (イ), (ウ)で定める。

(ア)　 $f_1(x)=\sin (\pi x)$

(イ)　 $f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x\right)\quad (n=1,\, 2,\, 3,\, \cdots)$

(ウ)　 $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x)\quad (n=1,\, 2,\, 3,\, \cdots)$

以下の問いに答えよ。
(1)　 $a=2$ , $b=3$ のとき， $f_5(0)$ を求めよ。
(2)　1 個のさいころを 2 回投げて，1 回目に出る目を $a$ ，2 回目に出る目を $b$ とするとき，

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

(1)について

これは「実験しなさい」という設問です。
$f_5(0)=\cdots$ のように変形して解くこともできますが，一般項が見えやすいようにまず $f_5(x)$ を求めてから $x=0$ を代入して解くことにします。

$a=2$ , $b=3$ より $f_n(x)$ は次のような関数です。

\begin{align*}
f_1(x)=\sin (\pi x),\,
f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\dfrac{5}{6}-x\right),\,
f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x)
\end{align*}

これを繰り返し使います。

\begin{align*}
f_5(x) &=f_4(-x)=f_3\left(\frac{5}{6}+x\right)=f_2\left(-\frac{5}{6}-x\right)\\
&=f_1\left(\frac{5}{6}+\frac{5}{6}+x\right)=f_1\left(\frac{5}{3}+x\right)
\end{align*}

$x=0$ を代入するとできあがり。

$f_5(0)=f_1\left(\frac{5}{3}\right)=\sin \frac{5}{3}\pi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

一般項について

$\displaystyle f_5(x)=f_3(5/6+x)=f_1(5/6\cdot 2+x)$ の引数に注目すると $f_{2n+1}(x)$ の一般項がわかります。
以下，簡単のため $c=1/a+1/b$ とします。

$f_{2n+1}(x)=f_1(x+nc)$

$f_{2n}(x)$ もわかります。

$f_{2n}(x)=f_{2n-1}(c-x)=f_1\left((c-x)+(n-1)c\right)=f_1(nc-x)$

(2)について

試験本番では一般項を求めている余裕はないと思うので，(2)も一般項を使わないで普通に解きます。

条件式はこうです。

\begin{align*}
f_1(x)=\sin (\pi x),\, f_{2n}(x)=f_{2n-1}(c-x),\, f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x)
\end{align*}

これを繰り返し使います。

\begin{align*}
f_6(x)&=f_5(c-x)=f_4(x-c)=f_3\left(c-(x-c)\right)=f_3(2c-x)\\
&=f_2(x-2c)=f_1\left(c-(x-2c)\right)=f_1(3c-x)
\end{align*}

$f_6(0)=0$ の条件は $f_1(3c)=\sin (3c\pi)=0$ です。

$3c\pi=k\pi$ （ $k$ は整数）を整理すると「 $3/a+3/b$ は整数」になります。

これをみたす $a,\, b)$ を列挙するのに表を使うと考えやすいと思います。

f:id:variee:20220106135052p:plain

$3/a+3/b$ が整数になる条件は次のようになります。

\begin{align*}
&\left\{a,\,b\right\}=\left\{1,\,1\right\},\, \left\{1,\,3\right\},\, \left\{2,\,2\right\},\,
\left\{2,\,6\right\},\, \left\{3,\,3\right\},\, \left\{6,\,6\right\}\\
&\therefore (a,\, b)=(1,\, 1),\, (1,\, 3),\, (3,\, 1),\, (2,\, 2),\, (2,\, 6),\, (6,\, 2),\, (3,\, 3),\, (6,\, 6)
\end{align*}

全部で 8 通りなので求める確率は $\dfrac{8}{6^2}=\dfrac{2}{9}$ です。

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