実験して合同式
この手の問題でよくあるパターンは「 は 3 の倍数だが 3 ではない」です。
とおいて実験してみましょう。
\begin{align*}
f(2) &=2^4+14=16+14=30=2\times 3\times 5\\
f(3) &=3^4+14=81+14=95=5\times 19\\
f(5) &=5^4+14=625+14=639=3^2\times 71\\
f(7) &=7^4+14=2401+14=2415=3\times 5\times 7\times 23
\end{align*}
以外は 3 の倍数になりそうですね。合同式を使って証明します。
で考えます。
とき
より
です。
\begin{align*}
f(p)\equiv 1^2+14=15\equiv 0
\end{align*}
より
は素数ではありません。
も素数ではないので，
はどれも素数ではないことが証明できました。（証明終）
合同式上の変形
を使って平方数の差を作ると「
のとき
」となる理由が見えやすいです。
\begin{align*}
f(p)&=(p^4-1)+15\equiv (p^2+1)(p^2-1)\\
&\equiv (p^2+1)(p+1)(p-1)\pmod{3}
\end{align*}
のおかげで「
のとき
」となるわけです。
ちなみに一般に が言えます。証明は簡単です。
\begin{align*}
p^3-p=p(p+1)(p-1)\equiv 0\pmod{3}\text{（証明終）}
\end{align*}
これを使って「 のおかげで～」を示すこともできます。
\begin{align*}
f(p)&=p^3\cdot p+14\equiv p^2-1\\
&\equiv (p+1)(p-1)\pmod{3}\text{（証明終）}
\end{align*}
