4次方程式の解 / 2022 東京医科大学第4問

問題
概要
2次方程式の解と係数の関係を使って解く
4次方程式の解と係数の関係を使ったらどうなるか

問題

四次方程式 $x^4-8x^3+cx^2+4x-6=0$ （ $c$ は定数）の四つの解を $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ とする。
二つの解 $\alpha$ と $\beta$ の積が $\alpha\beta=\sqrt{2}$ であるとき，
\begin{align*}
\gamma^2\delta^2=\fbox{アイ}
\end{align*}
であり，
\begin{align*}
\gamma+\delta=\fbox{ウ}-\frac{\sqrt{2}}{\fbox{エ}}
\end{align*}
である。また，このとき
\begin{align*}
c=\frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キ}}
\end{align*}
である。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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概要

4次方程式の解と係数の関係を使う問題かと思ったら，2次方程式の解と係数の関係で解けました。
まずその解答を紹介して，次に4次方程式の解と係数の関係を使ったらどうなるか書きます。

2次方程式の解と係数の関係を使って解く

まずは因数分解です。 $\alpha\beta=\sqrt{2}$ より与えられた 4 次式は次のように書けます。
\begin{align*}
&(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\\
&=\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\sqrt{2}\right\}\left\{x^2-(\gamma+\delta)x+\gamma\delta\right\}
\end{align*}

定数項に注目すると $\sqrt{2}\gamma\delta=-6$ から $\gamma\delta=-3\sqrt{2}$ がわかります。
\begin{align*}
\therefore \gamma^2\delta^2=(-3\sqrt{2})^2={18}
\end{align*}

$\gamma+\delta$ を求めるのにあたって $\alpha+\beta=s$ , $\gamma+\delta=t$ とおきます。
\begin{align*}
&(x^2-sx+\sqrt{2})(x^2-tx-3\sqrt{2})\\
&=x^4-8x^3+cx^2+4x-6
\end{align*}

両辺の係数を比較すると次のようになります。
\begin{align*}
\begin{array}{ll}
x^3&:\ -t-s=-8\quad \therefore s+t=8\\[3pt]
x^2&:\ -3\sqrt{2}+\sqrt{2}+st=c\quad \therefore c=st-2\sqrt{2}\\[3pt]
x&:\ 3\sqrt{2} s-\sqrt{2}t=4\quad \therefore 3s-t=2\sqrt{2}
\end{array}
\end{align*}

これを解くと $s$ , $t$ , $c$ がすべて求まります。
\begin{align*}
s=2+\frac{\sqrt{2}}{2},\, \gamma+\delta=t={6-\frac{\sqrt{2}}{2}},\, c={\frac{23}{2}}
\end{align*}

4次方程式の解と係数の関係を使ったらどうなるか

参考までに 4 次方程式の解と係数の関係を使うとどうなるか書いておきます。
使う式は次の 4 つです。
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma+\delta=8\mbox{　……(a)}\\
&\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=c\mbox{　……(b)}\\
&\alpha\beta\gamma+\beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-4\mbox{　……(c)}\\
&\alpha\beta\gamma\delta=-6\mbox{　……(d)}
\end{align*}

$\alpha\beta=\sqrt{2}$ と(d)から $\gamma\delta=-3\sqrt{2}$ がわかります。
これを使って(b)(c)を書き直します。
\begin{align*}
\text{(b)} &\Leftrightarrow \alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta=c+2\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow (\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=c+2\sqrt{2}\mbox{　……(e)}
\end{align*}

\begin{align*}
\text{(c)} &\Leftrightarrow \sqrt{2}\gamma-3\sqrt{2}\beta-3\sqrt{2}\alpha+\sqrt{2}\delta=-4\\
&\Leftrightarrow \gamma+\delta-3(\alpha+\beta)=-2\sqrt{2}\mbox{　……(f)}
\end{align*}

$\alpha+\beta$ と $\gamma+\delta$ がカタマリになっているのがわかりますね。
これらを $s$ , $t$ とおいて(a)(e)(f)を書き直すと「2 次方程式の～」で示したのと同じ式になります。