円周上の点と不動点の距離の最大最小 / 2022 日本医科大学第1問

問題
直交座標形式に直す
β の求め方についての補足

問題

$i$ を虚数単位とする。O を原点とする複素数平面上において，中心が O，半径が 2 の円を $C$ とする。
$C$ 上の点 $\mathrm{P}(z)$ に対して，複素数平面上の点 $\mathrm{Q}(w)$ を次のように定める。
\begin{align*}
w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i}
\end{align*}
点 $\mathrm{P}(z)$ が $C$ 上を動くとき，点 $\mathrm{Q}(w)$ は複素数 $\alpha=-\fbox{ア}i$ で表される点 $\mathrm{A}(\alpha)$ を中心とし，半径 $r=\fbox{イ}$ の円上を動く。
このとき， $z=w$ をみたす $C$ 上の点 $z$ がただ 1 つ存在し，その点を $\mathrm{B}(\beta)$ とおく。
$z\ne \beta$ をみたす点 $\mathrm{P}(z)$ に対して，等式
\begin{align*}
\frac{z-w}{z-\beta}=\frac{z-\fbox{ウ}-\fbox{エ}i}{z+\fbox{オ}-\fbox{カ}i}
\end{align*}
が成り立つことを用いると，点 $\mathrm{P}(z)$ が $z\ne \beta$ かつ $\sqrt{5}\mathrm{PQ}\leqq \mathrm{BP}$ をみたしながら $C$ 上を動くとき，BP は最大値 $\fbox{キ}\sqrt{\fbox{ク}}$ と最小値 $\frac{\fbox{ケ}\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$ をとることがわかる。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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直交座標形式に直す

与式を $z$ について解きます。
\begin{align*}
z=\frac{-(2-2i)w+4-4i}{w-4-2i}=\frac{-(2-2i)(w-2)}{w-4-2i}
\end{align*}

これを $|z|=2$ に代入すると $w$ の軌跡がわかります。
\begin{align*}
|2-2i||w-2|=2\,|w-4-2i| &\ \Leftrightarrow\ 2\sqrt{2}|w-2|=2\,|w-4-2i|\\
&\ \Leftrightarrow |w-2|:|w-4-2i|=1:\sqrt{2}
\end{align*}

これは 2 と $4+2i$ を $1:\sqrt{2}$ に内分，外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）です。

内分点，外分点を求めて中心と半径を求めてもいいのですが， $w=x+iy$ （ $x$ , $y$ は実数）を代入する方が楽です。
複素数の問題だからといって複素数 $z$ のまま解く必要はありません。
\begin{align*}
& 2\,|w-2|^2=|w-4-2i|^2\\
&\Leftrightarrow 2\left\{(x-2)^2+y^2\right\}=(x-4)^2+(y-2)^2\\
&\Leftrightarrow x^2+y^2+4y=12\Leftrightarrow x^2+(y+2)^2=16
\end{align*}

$w$ の軌跡は中心 $\alpha={-2i}$ ，半径 $r={4}$ の円です。

この円と $C$ を図示すると次のようになります。共有点は $2i$ だけです。

f:id:variee:20220209100905p:plain

$z=2i$ のとき $z=w$ になることは計算で確かめられるので $\beta=2i$ です。
\begin{align*}
&\begin{aligned}
z-w &=z-\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i}=\frac{z^2-(2+4i)z-4+4i}{z+2-2i}\\
&=\frac{(z-2i)(z-2-2i)}{z+2-2i}=\frac{(z-\beta)(z-2-2i)}{z+2-2i}\\
\end{aligned}\\[3pt]
&\therefore \frac{z-w}{z-\beta}={\frac{z-2-2i}{z+2-2i}}
\end{align*}

これを使って $\sqrt{5}\,\mathrm{PQ}\leqq \mathrm{BP}$ を整理します。

$\sqrt{5}\,|z-w|\leqq |z-\beta|$ より
\begin{align*}
\left| \frac{z-w}{z-\beta}\right|\leqq \frac{1}{\sqrt{5}}
&\Leftrightarrow \left| \frac{z-2-2i}{z+2-2i}\right|\leqq \frac{1}{\sqrt{5}}\\
&\Leftrightarrow 5\,|z-2-2i|^2\leqq |z+2-2i|^2
\end{align*}

$z=X+iY$ （ $X$ , $Y$ は実数）とおきます。
\begin{align*}
&5\left\{(X-2)^2+(Y-2)^2\right\}\leqq (X+2)^2+(Y-2)^2\\
&\Leftrightarrow (X-3)^2+(Y-2)^2\leqq 5
\end{align*}

これと $|z|=2$ , $z\ne \beta=2i$ より $z$ は図の太線部を動きます。

f:id:variee:20220209100922p:plain

BP が最大になるのは $\mathrm{P}(2,\, 0)$ つまり $z=2$ のときで，最大値は $|2-2i|={2\sqrt{2}}$

BP が最小になるのは $\mathrm{P}(10/13,\, 24/13)$ つまり $z=\frac{10}{13}+\frac{24}{13}i$ のときで，最小値は
\begin{align*}
\sqrt{\left(\frac{10}{13}\right)^2+\left(2-\frac{24}{13}\right)^2}={\frac{2\sqrt{26}}{13}}
\end{align*}

β の求め方についての補足

$w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i}$ を $z$ から $w$ への変換とみなすと， $\beta$ はその不動点です。

$z=w$ を直接解くことによってその値を求めることができます。
\begin{align*}
z=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i} &\Leftarrow z(z+2-2i)=(4+2i)z+4-4i\\
&\Leftrightarrow z^2-(2+4i)-4+4i=0\\
&\Leftrightarrow (z-2i)\left\{z-(2+2i)\right\}=0
\end{align*}

$z=2i$ と $z=2+2i$ のうち $|z|=2$ をみたす方を求めると $\beta=2i$ です。

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