平野塾@吉祥寺

A以上B未満の素数の個数 / 2022 女子学院中学第2問

中学入試女子学院中学

問題
(1)は全部書く
(2)はグループ分け

問題

$A$ , $B$ を整数として， $A$ 以上 $B$ 未満の素数の個数を $A\,\bigstar\, B$ で表すとします。

(1)　 $10\,\bigstar\, 50=\fbox{$\phantom{WW}$}$

(2)　 $(20\,\bigstar\, A) \times (A\,\bigstar\, B) \times (B\,\bigstar\, 50)=9$ となる $A$ , $B$ の組のうち $A$ と $B$ の和が最も大きくなるのは $A=\fbox{$\phantom{WW}$}$ , $B=\fbox{$\phantom{WW}$}$ のときです。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(1)は全部書く

(1)は 10 以上 50 未満の素数を全部書くと解けます。
\begin{align*}
11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23,\, 29,\, 31,\, 37,\, 41,\, 43,\, 47
\end{align*}

11 個あるので $10\,\bigstar\, 50={11}$ です。

(2)はグループ分け

(2)の条件式はなにやら仰々しいですが，これはグループ分けするだけの問題です。

20 以上 50 未満の素数は 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 の 7 個。
これを 3 つのグループに分けます。

20 以上 $A$ 未満
$A$ 以上 $B$ 未満
$B$ 以上 50 未満

各グループに含まれる素数の個数の積が 9 になる $A$ , $B$ の組のなかで $A+B$ が最大のものが答えです。

和が 7 の 3 つの数をかけあわせて 9 を作る方法が次の 3 つしかないことを利用します。
\begin{align*}
9=1\times 3\times 3=3\times 1\times 3=3\times 3\times 1
\end{align*}

これを 23～47 の分割法に直すと次のようになります。

(a) $23\, |\, 29,\, 31,\, 37\, |\, 41,\, 43,\, 47$
(b) $23,\, 29,\, 31\, |\, 37\, |\, 41,\, 43,\, 47$
(c) $23,\, 29,\, 31\, |\, 37,\, 41,\, 43\, |\, 47$

$A$ , $B$ の上限をおさえるにあたって $x\,\bigstar\, y$ の定義が「 $x$ 以上 $y$ 未満の素数の個数」であることに注意してください。(a)のとき $A\leqq 29$ かつ $B\leqq 41$ です。

「未満」を「以下」と読み間違えると「 $A\leqq 23$ かつ $B\leqq 37$ 」などとしてしまいそうですが， $A$ , $B$ はもっと大きい値をとれます。具体的には次のようになります。

(a)のとき $A\leqq 29$ かつ $B\leqq 41$ より $A+B\leqq 70$
(b)のとき $A\leqq 37$ かつ $B\leqq 41$ より $A+B\leqq 78$
(c)のとき $A\leqq 37$ かつ $B\leqq 47$ より $A+B\leqq 84$

$A+B$ が最大になるのは $A={37}$ , $B={47}$ のときです。

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