問題
次の条件に当てはまる4桁の整数を考えます。
条件：1 つの数字を3個，別の数字を 1 個並べて作られる。
例えば，2022 はこの条件に当てはまっています。以下の問いに答えなさい。
(1) 条件に当てはまる 4 桁の整数のうち，どの桁の数字も 0 でないものはいくつありますか。
(2) 条件に当てはまる 4 桁の整数は全部でいくつありますか。
(3) 条件に当てほまる 4 桁の整数のうち，3 の倍数であるものはいくつありますか。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
解答
(1) 3 回使う数を として，1 回しか使わない数を
とします。
かつ
をみたす
,
の組は
通りあって，並べ方は 4 通りずつあります。
全部で 個です。
(2) 桁数字に 0 を含むものを数えます。
のものは
のように並べるしかありません。
が 9 通りあるので，これは 9 個。
のものは
が 9 通りあって首位が 0 以外になる並べ方は 3 通りずつあります。
個。
これらと(1)の和が答えです。 個。
(3) 3 の倍数になる条件は が 3 の倍数であること，つまり「
が 3 の倍数であること」です。
は 0, 3, 6, 9 の 4 通り考えられます。それぞれの場合の個数を数えても解けますが，
が確定する余事象の方が場合分けが少なくて楽です。
4 桁の数が 3 の倍数にならない条件は「 が 3 の倍数でないこと」で，この条件をみたす
は 6 通りあります。
の場合を考えて 6 倍します。
のものは
だけで 1 個。
のものは
が 8 通り，並べ方が 4 通りあるので
個。
こららの和の 33 を 6 倍して(2)の答えから引いたものがこの問題の答えです。 個。
