問題概略
, , は 3 以上の実数である。次の不等式が成立することを示し,等号成立条件を求めよ。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
文字固定
, , の係数がバラバラで相加相乗などにもちこみにくいので,まずは文字固定で解きます。
左辺から右辺を引いたものを とおきます。
, より なので は の増加関数です。
のときを考えて
右辺は , 両方についての増加関数です。 のときを考えて
これで与式が証明できました。等号成立条件は です。
a=3+A などの置換
「, , は 3 以上」をいかすために
とおきます。 を , , で書き直すと
すべての項が 0 以上なのでこれは 0 以上です。証明終わり。
等号成立条件は より です。
どうやって作問した?
「こんな変な係数の不等式をよく作ったな〜」と思いましたが,★から逆算すると楽勝ですね。
たとえば を , , で書き直すと次のような不等式になります。