対数の和の最小値(2013 インド統計大学)

問題概略

 a,  b,  c は 1 より大きい実数である。

 S=\log_a bc+\log_b ca+\log_c ab の最小値を求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h533941p3058122

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

底を揃える

2013 年のインド統計大学の入試問題です。
常用対数で考えて  p=\log a,  q=\log b,  r=\log c とおきます。これらはすべて正です。

底の変換公式を使います。

 \log_{a}bc=\frac{\log bc}{\log a}=\frac{\log b+\log c}{\log a}=\frac{q+r}{p}

他の項も同様なので  S は次のように変形できます。

 S =\frac{q+r}{p}+\frac{r+p}{q}+\frac{p+q}{r}
 =\left(\frac{q}{p}+\frac{p}{q}\right)+\left(\frac{r}{q}+\frac{q}{r}\right)+\left(\frac{p}{r}+\frac{r}{p}\right)
 \geqq 2\sqrt{\frac{q}{p}\cdot\frac{p}{q}}+2\sqrt{\frac{r}{q}\cdot\frac{q}{r}}+2\sqrt{\frac{p}{r}\cdot\frac{r}{p}}=6

等号は  p=q=q のとき,つまり  a=b=c のとき成立します。

 \therefore \text{(最小値)}=6

6 文字の相加平均・相乗平均の関係

6 文字の相加相乗でもできますね。

 S =\cdots=\frac{q}{p}+\frac{r}{p}+\frac{r}{q}+\frac{p}{q}+\frac{p}{r}+\frac{q}{r}
 \geqq 6\sqrt[6]{\frac{q}{p}\cdot\frac{r}{p}\cdot\frac{r}{q}\cdot\frac{p}{q}\cdot\frac{p}{r}\cdot\frac{q}{r}}=6

等号はすべての分数が一致するとき,つまり  p=q=q のとき成立します。


variee.hatenablog.com