平野塾@吉祥寺

係数が適当っぽい不等式（2015 マレーシアジュニア）

数オリ

問題概略
文字固定
a=3+A などの置換
どうやって作問した？

問題概略

$a$ , $b$ , $c$ は 3 以上の実数である。次の不等式が成立することを示し，等号成立条件を求めよ。
$3(abc+b+2c) \geqq 2(ab+2ac+3bc)$

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

文字固定

$a$ , $b$ , $c$ の係数がバラバラで相加相乗などにもちこみにくいので，まずは文字固定で解きます。

左辺から右辺を引いたものを $P$ とおきます。

$P =(3bc-2b-4c)a+3b+6c-6bc$
$=\frac{1}{3}\left\{(3c-2)(3b-4)-8\right\}a+3b+6c-6bc$

$b\geqq 3$ , $c\geqq 3$ より $(3c-2)(3b-4)-8 \geqq (3\cdot 3-2)(3\cdot 3-4)-8>0$ なので $P$ は $a$ の増加関数です。
$a=3$ のときを考えて

$P \geqq (3bc-2b-4c)\cdot 3+3b+6c-6bc=3(bc-b-2c)$
$=3(b-2)(c-1)-6$

右辺は $b$ , $c$ 両方についての増加関数です。 $b=c=3$ のときを考えて

$P\geqq 3(3-2)(3-1)-6=0$

これで与式が証明できました。等号成立条件は $a=b=c=3$ です。

a=3+A などの置換

「 $a$ , $b$ , $c$ は 3 以上」をいかすために

$a=3+A,\, b=3+B,\, c=3+C\quad (A,\, B,\, C\geqq 0)$

とおきます。 $P$ を $A$ , $B$ , $C$ で書き直すと

$P=3ABC+7AB+3BC+5CA+9A+6B+3C\text{　……★}$

すべての項が 0 以上なのでこれは 0 以上です。証明終わり。

等号成立条件は $A=B=C=0$ より $a=b=c=3$ です。

どうやって作問した？

「こんな変な係数の不等式をよく作ったな〜」と思いましたが，★から逆算すると楽勝ですね。

たとえば $ABC+2AB+3BC+4CA+5A+6B+7C\geqq 0$ を $a$ , $b$ , $c$ で書き直すと次のような不等式になります。

$abc+ac\geqq 4a+ab+5c$

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