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並べ替えてトレミーの定理（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略

AD は半径 r の円の直径である。
点 B, C は同じ弧 AD 上にあり， AB = BC = r/2, A ≠ C をみたしている。 CD/r を求めよ。
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https://artofproblemsolving.com/community/c6h533950p3058140

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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無難に余弦定理

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

図のように角 \theta をとって \triangle\mathrm{OAB} に余弦定理を使います。

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\cos\theta=\frac{r^2+r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}{2r^2}=\frac{7}{8}

\therefore \cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=\frac{17}{32}

次は \triangle\mathrm{OCD} に余弦定理。

\mathrm{CD}^2=r^2+r^2-2r^2\cos (\pi-2\theta)=2r^2(1+\cos 2\theta)=\frac{49}{16}r^2

\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}

三角形を並べ替える

左下図のように三角形を並べかえます。AD は直径なので \triangle\mathrm{ABD} は直角三角形です。

\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=\sqrt{(2r)^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}r

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四角形 ABED は円に内接しているのでトレミーの定理が使えます。

\mathrm{AB}\cdot \mathrm{DE}+\mathrm{BE}\cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{BD}

\Leftrightarrow{} \left(\frac{r}{2}\right)^2+\mathrm{BE}\cdot 2r=\left(\frac{\sqrt{15}}{2}r\right)^2\Leftrightarrow \mathrm{BE}=\frac{7}{4}r

並べ替えで名前が変わりましたが，これが CD です。

\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}


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