分数関数の値域（2013 インド統計大学）

$x \geqq 0$ を定義域とする関数

$f(x)=\dfrac{1}{x+2\cos x}$

の値域を求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533942p3058125

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

分母を $g(x)=x+2\cos x$ とおいて，その値域を求めます。

$g(x)$ は連続関数で， $\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty$ はあきらか。次は下限を調べます。

$g'(x)=1-2\sin x$

増減表は省略しますが， $x=\frac{5}{6}\pi+2n\pi$ （ $n$ は非負整数）で極小値をとります。その値は

$g\left(\frac{5}{6}\pi+2n\pi\right)=\frac{5}{6}\pi+2n\pi-\sqrt{3}$

$g(x)$ の最小値はこれら極小値と端点値 $g(0)=2$ の小さい方です。
極小値としては $n=0$ のものを考えれば十分で，

$\text{(最小値)}=\min\left\{\frac{5}{6}\pi-\sqrt{3},\, 2\right\}=\frac{5}{6}\pi-\sqrt{3}$

まとめると $g(x)$ の値域は次の通りです。

$g(x)\geqq \frac{5}{6}\pi-\sqrt{3}\ (>0)$

これの逆数をとると $f(x)$ の値域になります。

$0< f(x) \leqq \frac{1}{\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}}\quad \therefore 0< f(x)\leqq \frac{6}{5\pi-6\sqrt{3}}$