平野塾@吉祥寺

N(N-1)が平方数になる条件（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
(積)= (一定) の形を作る
最大公約数に注目する

問題概略

$N (N - 101)$ が自然数の 2 乗になるような自然数 $N$ をすべて求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533947p3058132

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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(積)= (一定) の形を作る

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

$N(N-101)=k^2$ とおきます。 $k$ は自然数です。

$\text{(平方数の差)}=\text{(一定)}$ の形を作りたいので両辺を 4 倍して平方完成します。

$4N^2-404N=(2k)^2 \Leftrightarrow (2N-101)^2-101^2=(2k)^2$
$\Leftrightarrow (2N-101+2k)(2N-101-2k)=101^2$

$\text{(積)}=\text{(一定)}$ の形になりました。この後は「候補を絞り込んでしらみつぶし」です。

101 は素数で $2N-101+2k > 2N-101-2k$ 。
また， $N(N-101)> 0$ と $N\geqq 1$ から $N> 101$ がわかるので $2N-101+2k>0$ です。
考えられる組み合わせは1つしかありません。

$(2N-101+2k,\, 2N-101-2k)=(101^2,\, 1)$

これを解くと $(N,\, k)=(2601,\, 2550)$ なので $N=2601$

最大公約数に注目する

$a$ , $b$ の最大公約数を $(a,\, b)$ であらわします。

$(N,\, N-101)=(N,\, -101)=(N,\, 101)$

101 は素数なので $N$ と $N-101$ の最大公約数は 1 か 101 です。

(ア) 最大公約数が 1 のとき

$N$ と $N-101$ は互いに素なので $N(N-101)$ が平方数になるのは $N$ と $N-101$ が両方とも平方数のときです。

$a$ , $b$ を互いに素な自然数として $N=a^2$ , $N-101=b^2$ とおきます。 $N$ を消去すると

$a^2-101=b^2 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)=101$
$\Leftrightarrow (a+b,\, a-b)=(101,\, 1)\quad (\because a+b>0,\, a+b>a-b)$
$\Leftrightarrow (a,\, b)=(51,\, 50)$

$N=a^2=51^2=2601$ です。

(イ) 最大公約数が 101 のとき

$c$ , $d$ を互いに素な自然数として $N=101c$ , $N-101=101d$ とおきます。

$N$ を消去すると $101c-101=101d$ から $c-1=d$ を得るので

$N(N-101)=101^2 cd=101^2 (d+1)d$

$d$ と $d+1$ は互いに素な自然数なので，これは平方数になりません。

以上まとめると $N=2601$

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