白石と黒石を並べる。白白黒は含まない /「算数にチャレンジ!!」第1189問

問題概略
全パターン調べる
対称性を利用する
- 解法その1
- 解法その2

問題概略

白い碁石（W）が10個，黒い碁石（B）が 7 個あり，これを横一列に並べます。WWB という部分が 1 ヶ所もないような並べ方は何通りあるでしょうか。
http://www.sansu.org/used-html/index1189.html

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

全パターン調べる

まずは愚直に全パターン調べます。黒石を一列に並べて，その間と両端に白石を置きます。

$\fbox{$a_1$個のW},\, \mathrm{B},\,\fbox{$a_2$個のW},\, \cdots,\, \mathrm{B},\, \fbox{$a_8$個のW}$

白石は全部で 10 個あって，WWB はないので $a_1$ ～ $a_8$ の条件は次のようになります。

$a_1+a_2+\cdots+a_8=10$
$a_1$ ～ $a_7$ は 0 か 1
$a_8$ は 0 以上

これをみたす $a_1$ ～ $a_8$ の組の個数が答えです。mathematica によると 128 通りありました。

   In[]:= AbsoluteTiming[
      eqn = {a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 == 10,
        0 <= a1 <= 1, 0 <= a2 <= 1, 0 <= a3 <= 1, 0 <= a4 <= 1,
        0 <= a5 <= 1, 0 <= a6 <= 1, 0 <= a7 <= 1, a8 >= 0};
      lst = Reduce[eqn, {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}, Integers];
      ans = Length@lst]
     
   Out[]= {0.0982795, 128}