6 個ごとにまとめて計算
,
とおいて
の周期性を利用します。
とおきます。
を 1 増やすと右辺の各項が
倍になるので
は等比数列です。
初項も求めましょう。
\begin{align*}
b_0 &=a_0+a_1+\cdots+a_5\\
&=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{2}+0
-\frac{1}{2^4}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2^5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\
&=\frac{70+15\sqrt{3}}{64}
\end{align*}
一般項は次のようになります。
の計算に入ります。
\begin{align*}
S_{6m-1} &=\sum_{k=0}^{6m-1}a_k=\sum_{k=0}^{m-1} b_k
=b_0\cdot\frac{1-\left(-\frac{1}{64}\right)^m}{1-\left(-\frac{1}{64}\right)}\\
& \to \frac{b_0}{1-\left(-\frac{1}{64}\right)}=\frac{64}{65}\, b_0\quad (m\to \infty)
\end{align*}
と
より
～
も同じ
に収束します。これが求める値です。
複素数に直してド・モアブルの定理
,
とおきます。
に対してド・モアブルの定理を使うと楽に計算できます。
\begin{align*}
A_n+i B_n &=\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)\\
&=\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^k\\
&=\sum_{k=0}^{n} \left\{\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right\}^k
\end{align*}
とおきます。
複素数 に対して
を示すため，絶対値をとります。
より
で
なので
です。
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} (A_n+i B_n) &=\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}+i}{4}}\\
&=\cdots=\frac{14+3\sqrt{3}+(5+2\sqrt{3})i}{13}
\end{align*}
これの実部が求める和です。
