2016-10-08

対数の和の最小値（2013 インド統計大学）

問題概略
底を揃える
6 文字の相加平均・相乗平均の関係

問題概略

$a$ , $b$ , $c$ は 1 より大きい実数である。
$S=\log_a bc+\log_b ca+\log_c ab$ の最小値を求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533941p3058122

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底を揃える

2013 年のインド統計大学の入試問題です。
常用対数で考えて $p=\log a$ , $q=\log b$ , $r=\log c$ とおきます。これらはすべて正です。

底の変換公式を使います。

$\log_{a}bc=\frac{\log bc}{\log a}=\frac{\log b+\log c}{\log a}=\frac{q+r}{p}$

他の項も同様なので $S$ は次のように変形できます。

$S =\frac{q+r}{p}+\frac{r+p}{q}+\frac{p+q}{r}$
$=\left(\frac{q}{p}+\frac{p}{q}\right)+\left(\frac{r}{q}+\frac{q}{r}\right)+\left(\frac{p}{r}+\frac{r}{p}\right)$
$\geqq 2\sqrt{\frac{q}{p}\cdot\frac{p}{q}}+2\sqrt{\frac{r}{q}\cdot\frac{q}{r}}+2\sqrt{\frac{p}{r}\cdot\frac{r}{p}}=6$

等号は $p=q=q$ のとき，つまり $a=b=c$ のとき成立します。

$\therefore \text{(最小値)}=6$

6 文字の相加平均・相乗平均の関係

6 文字の相加相乗でもできますね。

$S =\cdots=\frac{q}{p}+\frac{r}{p}+\frac{r}{q}+\frac{p}{q}+\frac{p}{r}+\frac{q}{r}$
$\geqq 6\sqrt[6]{\frac{q}{p}\cdot\frac{r}{p}\cdot\frac{r}{q}\cdot\frac{p}{q}\cdot\frac{p}{r}\cdot\frac{q}{r}}=6$

等号はすべての分数が一致するとき，つまり $p=q=q$ のとき成立します。

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2016-10-03

並べ替えてトレミーの定理（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
無難に余弦定理
三角形を並べ替える

問題概略

AD は半径 $r$ の円の直径である。
点 B, C は同じ弧 AD 上にあり， $AB = BC = r/2, A ≠ C$ をみたしている。 $CD/r$ を求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h533950p3058140

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無難に余弦定理

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

図のように角 $\theta$ をとって $\triangle\mathrm{OAB}$ に余弦定理を使います。

f:id:variee:20211112133718p:plain

$\cos\theta=\frac{r^2+r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}{2r^2}=\frac{7}{8}$

$\therefore \cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=\frac{17}{32}$

次は $\triangle\mathrm{OCD}$ に余弦定理。

$\mathrm{CD}^2=r^2+r^2-2r^2\cos (\pi-2\theta)=2r^2(1+\cos 2\theta)=\frac{49}{16}r^2$

$\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}$

三角形を並べ替える

左下図のように三角形を並べかえます。AD は直径なので $\triangle\mathrm{ABD}$ は直角三角形です。

$\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=\sqrt{(2r)^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}r$

f:id:variee:20211112133738p:plain

四角形 ABED は円に内接しているのでトレミーの定理が使えます。

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{DE}+\mathrm{BE}\cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{BD}$

$\Leftrightarrow{} \left(\frac{r}{2}\right)^2+\mathrm{BE}\cdot 2r=\left(\frac{\sqrt{15}}{2}r\right)^2\Leftrightarrow \mathrm{BE}=\frac{7}{4}r$

並べ替えで名前が変わりましたが，これが CD です。

$\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}$

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2016-10-01

N(N-1)が平方数になる条件（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
(積)= (一定) の形を作る
最大公約数に注目する

問題概略

$N (N - 101)$ が自然数の 2 乗になるような自然数 $N$ をすべて求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533947p3058132

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(積)= (一定) の形を作る

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

$N(N-101)=k^2$ とおきます。 $k$ は自然数です。

$\text{(平方数の差)}=\text{(一定)}$ の形を作りたいので両辺を 4 倍して平方完成します。

$4N^2-404N=(2k)^2 \Leftrightarrow (2N-101)^2-101^2=(2k)^2$
$\Leftrightarrow (2N-101+2k)(2N-101-2k)=101^2$

$\text{(積)}=\text{(一定)}$ の形になりました。この後は「候補を絞り込んでしらみつぶし」です。

101 は素数で $2N-101+2k > 2N-101-2k$ 。
また， $N(N-101)> 0$ と $N\geqq 1$ から $N> 101$ がわかるので $2N-101+2k>0$ です。
考えられる組み合わせは1つしかありません。

$(2N-101+2k,\, 2N-101-2k)=(101^2,\, 1)$

これを解くと $(N,\, k)=(2601,\, 2550)$ なので $N=2601$

最大公約数に注目する

$a$ , $b$ の最大公約数を $(a,\, b)$ であらわします。

$(N,\, N-101)=(N,\, -101)=(N,\, 101)$

101 は素数なので $N$ と $N-101$ の最大公約数は 1 か 101 です。

(ア) 最大公約数が 1 のとき

$N$ と $N-101$ は互いに素なので $N(N-101)$ が平方数になるのは $N$ と $N-101$ が両方とも平方数のときです。

$a$ , $b$ を互いに素な自然数として $N=a^2$ , $N-101=b^2$ とおきます。 $N$ を消去すると

$a^2-101=b^2 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)=101$
$\Leftrightarrow (a+b,\, a-b)=(101,\, 1)\quad (\because a+b>0,\, a+b>a-b)$
$\Leftrightarrow (a,\, b)=(51,\, 50)$