2016-10-03

並べ替えてトレミーの定理（2013 インド統計大学）

問題概略
無難に余弦定理
三角形を並べ替える

問題概略

AD は半径 $r$ の円の直径である。
点 B, C は同じ弧 AD 上にあり， $AB = BC = r/2, A ≠ C$ をみたしている。 $CD/r$ を求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h533950p3058140

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無難に余弦定理

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

図のように角 $\theta$ をとって $\triangle\mathrm{OAB}$ に余弦定理を使います。

f:id:variee:20211112133718p:plain

$\cos\theta=\frac{r^2+r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}{2r^2}=\frac{7}{8}$

$\therefore \cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=\frac{17}{32}$

次は $\triangle\mathrm{OCD}$ に余弦定理。

$\mathrm{CD}^2=r^2+r^2-2r^2\cos (\pi-2\theta)=2r^2(1+\cos 2\theta)=\frac{49}{16}r^2$

$\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}$

三角形を並べ替える

左下図のように三角形を並べかえます。AD は直径なので $\triangle\mathrm{ABD}$ は直角三角形です。

$\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=\sqrt{(2r)^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}r$

f:id:variee:20211112133738p:plain

四角形 ABED は円に内接しているのでトレミーの定理が使えます。

$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{DE}+\mathrm{BE}\cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{BD}$

$\Leftrightarrow{} \left(\frac{r}{2}\right)^2+\mathrm{BE}\cdot 2r=\left(\frac{\sqrt{15}}{2}r\right)^2\Leftrightarrow \mathrm{BE}=\frac{7}{4}r$

並べ替えで名前が変わりましたが，これが CD です。

$\therefore \frac{\mathrm{CD}}{r}=\frac{7}{4}$

variee.hatenablog.com

2016-10-01

N(N-1)が平方数になる条件（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
(積)= (一定) の形を作る
最大公約数に注目する

問題概略

$N (N - 101)$ が自然数の 2 乗になるような自然数 $N$ をすべて求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533947p3058132

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(積)= (一定) の形を作る

2013 年のインド統計大学の入試問題です。

$N(N-101)=k^2$ とおきます。 $k$ は自然数です。

$\text{(平方数の差)}=\text{(一定)}$ の形を作りたいので両辺を 4 倍して平方完成します。

$4N^2-404N=(2k)^2 \Leftrightarrow (2N-101)^2-101^2=(2k)^2$
$\Leftrightarrow (2N-101+2k)(2N-101-2k)=101^2$

$\text{(積)}=\text{(一定)}$ の形になりました。この後は「候補を絞り込んでしらみつぶし」です。

101 は素数で $2N-101+2k > 2N-101-2k$ 。
また， $N(N-101)> 0$ と $N\geqq 1$ から $N> 101$ がわかるので $2N-101+2k>0$ です。
考えられる組み合わせは1つしかありません。

$(2N-101+2k,\, 2N-101-2k)=(101^2,\, 1)$

これを解くと $(N,\, k)=(2601,\, 2550)$ なので $N=2601$

最大公約数に注目する

$a$ , $b$ の最大公約数を $(a,\, b)$ であらわします。

$(N,\, N-101)=(N,\, -101)=(N,\, 101)$

101 は素数なので $N$ と $N-101$ の最大公約数は 1 か 101 です。

(ア) 最大公約数が 1 のとき

$N$ と $N-101$ は互いに素なので $N(N-101)$ が平方数になるのは $N$ と $N-101$ が両方とも平方数のときです。

$a$ , $b$ を互いに素な自然数として $N=a^2$ , $N-101=b^2$ とおきます。 $N$ を消去すると

$a^2-101=b^2 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)=101$
$\Leftrightarrow (a+b,\, a-b)=(101,\, 1)\quad (\because a+b>0,\, a+b>a-b)$
$\Leftrightarrow (a,\, b)=(51,\, 50)$

$N=a^2=51^2=2601$ です。

(イ) 最大公約数が 101 のとき

$c$ , $d$ を互いに素な自然数として $N=101c$ , $N-101=101d$ とおきます。

$N$ を消去すると $101c-101=101d$ から $c-1=d$ を得るので

$N(N-101)=101^2 cd=101^2 (d+1)d$

$d$ と $d+1$ は互いに素な自然数なので，これは平方数になりません。

以上まとめると $N=2601$

variee.hatenablog.com

2016-09-30

不等式から関数決定（2013 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
どんどん置き換え
早稲田の類題
ノーヒントなら？

問題概略

実数から実数への関数 $f$ は次の不等式をみたす。

$|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2$

$f(x)=\dfrac{x}{2}+c$ （cは定数）であることを証明せよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c7h533952p3058145

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どんどん置き換え

答えが与えられている珍しい問題です。
ご厚意に甘えて $g(x)=f(x)-\frac{x}{2}$ とおきます。

$f(x)=g(x)+\frac{x}{2}$ より

\begin{align*}
&\left|\, g(x+y)+\frac{x+y}{2}-g(x-y)-\frac{x-y}{2}-y \,\right|\leqq y^2\\
&\Leftrightarrow |\, g(x+y) -g(x-y) \,|\leqq y^2
\end{align*}

$x+y=a$ , $x-y=b$ とおきます。

$|\, g(a)-g(b)\, |\leqq \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\text{　……(1)}$

ここから $g(x)=const.$ を導けば終わりです。

早稲田の類題

(1 )から定数関数を導く問題は早稲田が出しています。

相異なる任意の実数 $a$ , $b$ に対して，不等式
$|\, f(a)-f(b) \,|<|\, a-b \,|^2$
をみたす関数 $f(x)$ がある。
このとき， $a=0$ にとり，いったん $b$ を固定する。
そして $a$ , $b$ でつくられる区間を $n$ 等分し， $f(x)$ が定数関数であることを示せ。
1998 早稲田大学・政治経済学部第 2 問

同じ方法で今回の問題も解けるはずですが，この方針は自分には不自然なので微分で解きます。

$b$ を固定して $a=x$ と置き換えます。

$|\, g(x)-g(b)\,|\leqq \left(\frac{x-b}{2}\right)^2$

$x-b\ (\ne 0)$ で割ると

$0\leqq \left|\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}\,\right| \leqq \frac{|\,x-b\,|}{4}$

$x\to b$ としてハサミウチの原理を使います。

$0\leqq |\,g'(b)\,|\leqq 0\quad \therefore\, g'(b)=0$

これが任意の実数 $b$ で成立するので $g(x)$ は定数関数です。証明終わり。

ノーヒントなら？

ノーヒントでも解けます。

最初の式で $x+y=a$ , $x-y=b$ とおいて整理していきます。

\begin{align*}
&\left|\, f(a)-f(b)-\frac{a-b}{2}\,\right|\leqq \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\\
&\Leftrightarrow -\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\leqq f(a)-f(b)-\frac{a-b}{2}\leqq \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\\
&\Leftrightarrow \frac{a-b}{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\leqq f(a)-f(b)\leqq \frac{a-b}{2}+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2
\end{align*}

ヒントありの場合と同様に $b$ を固定して $a=x$ と置き換えます。
$x-b\ (> 0)$ で割ると