2016-09-28

分数関数の値域（2013 インド統計大学）

問題概略
分母の値域を求める

問題概略

$x \geqq 0$ を定義域とする関数

$f(x)=\dfrac{1}{x+2\cos x}$

の値域を求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h533942p3058125

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分母の値域を求める

分母を $g(x)=x+2\cos x$ とおいて，その値域を求めます。

$g(x)$ は連続関数で， $\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty$ はあきらか。次は下限を調べます。

$g'(x)=1-2\sin x$

増減表は省略しますが， $x=\frac{5}{6}\pi+2n\pi$ （ $n$ は非負整数）で極小値をとります。その値は

$g\left(\frac{5}{6}\pi+2n\pi\right)=\frac{5}{6}\pi+2n\pi-\sqrt{3}$

$g(x)$ の最小値はこれら極小値と端点値 $g(0)=2$ の小さい方です。
極小値としては $n=0$ のものを考えれば十分で，

$\text{(最小値)}=\min\left\{\frac{5}{6}\pi-\sqrt{3},\, 2\right\}=\frac{5}{6}\pi-\sqrt{3}$

まとめると $g(x)$ の値域は次の通りです。

$g(x)\geqq \frac{5}{6}\pi-\sqrt{3}\ (>0)$

これの逆数をとると $f(x)$ の値域になります。

$0< f(x) \leqq \frac{1}{\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}}\quad \therefore 0< f(x)\leqq \frac{6}{5\pi-6\sqrt{3}}$

variee.hatenablog.com

2016-09-27

分数型漸化式の極限（2016 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題
一般項を求める解法
一般項を求めない解法
その他

問題

実数からなる数列 $\{a_n\}$ は $a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2+a_n}$ をみたしている。

(1)　 $0 < a_1 < 1$ のとき $a_n$ は増加列であり， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1$ であることを証明せよ。
(2) 　 $a_1 > 1$ のとき $a_n$ は減少列であり， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1$ であることを証明せよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239527p6320959

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一般項を求める解法

出題者は「単調で有界な数列は収束する」で解いてほしかったのかもしれませんが，一般項を求める方が自然だと思うので，まずは一般項を使って解きます。

$a_1\ne 0$ のときつねに $a_n\ne 0$ なのは明らかで，与えられた漸化式の逆数がとれます。

\begin{align*}
&\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2+a_n}{3a_n}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}\\
&\therefore \frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)\\
&\therefore \frac{1}{a_n}=1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{a_1}-1\right)
\end{align*}

$a_1$ によらず $\lim_{n\to\infty} a_n=1$ です。次は増減を調べます。

(1)　 $0< a_1< 1$ のとき $\frac{1}{a_1}-1>0$ なので $\frac{1}{a_n}$ は正の減少列です。
よって $a_n$ は増加列。

(2)　 $a_1>1$ のとき $1< \frac{1}{a_1}-1< 0$ なので $\frac{1}{a_n}$ は正の増加列です。
よって $a_n$ は減少列。

一般項を求めない解法

$a_n$ と $a_{n+1}$ , 1 との大小を比較します。

\begin{align*}
&a_{n+1}-a_n=\frac{3a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{-a_n{}^2+a_n}{2+a_n}=\frac{a_n(1-a_n)}{2+a_n}\\
&a_{n+1}-1=\frac{3a_n}{2+a_n}-1=\frac{2(a_n-1)}{2+a_n}
\end{align*}

$0< a_1< 1$ のときも $a_1>1$ のときも $\{a_n\}$ の各項はつねに正なので次のことが言えます。

$a_{n+1}-a_n$ は $1-a_n$ と同符号 $\text{　……(A)}$
$a_{n}-1$ は定符号 $\text{　……(B)}$

あわせると「 $a_{n+1}-a_n$ はすべての $n$ で $1-a_1$ と同符号」 $\text{　……(C)}$ です。

(1)　 $0< a_1< 1$ と(C)よりつねに $a_{n+1}-a_n>0$ なので $a_n\}$ は増加列です。

また，(B)より $a_n-1$ は $a_1-1\ (< 0)$ と同符号なので $a_n< 1$ もいえます。

上に有界な増加列は収束します。極限値を $\alpha$ とおくと

$\alpha=\frac{3\alpha}{2+\alpha}\quad \therefore \alpha=0,\, 1$

$\{a_n\}$ は正の増加列なので $\alpha=0$ は不適。
$\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha=1$ です。

(2)　(1)とほとんど同じ。不等号の向きが逆になるだけですね。

$a_1>1$ と(C)よりつねに $a_{n+1}-a_n< 0$ なので $\{a_n\}$ は減少列。
(B)から $a_n>1$ も言えます。

下に有界な減少列は収束します。極限値を $\beta$ とおくと

$\beta=\frac{3\beta}{2+\beta}\quad \therefore \beta=0,\, 1$

$a_n>1$ より $\beta\geqq 1$ なので $\beta=1$
つまり $\lim_{n\to\infty} a_n=1$ です。

その他

他に $y=\frac{3x}{2+x}$ のグラフと $y=x$ のグラフを使って $a_n$ の増減を調べる方法も考えられます。
ただ，この解法は大学入試ではあまり好ましくないとされていて，参考書などでも別解ではなく参考扱いされているので割愛します。

variee.hatenablog.com

2016-09-26

条件を角のみ，長さのみにする（2016 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略
角のみに揃える
長さのみに揃える

問題概略

$\triangle\mathrm{ABC}$ において $\mathrm{AB}=c$ , $\mathrm{BC}=a$ , $\mathrm{CA}=b$ とおく。

$\sin (A-B)=\dfrac{a}{a+b}\sin A\cos B-\dfrac{b}{a+b}\sin B\cos A$

が成立するとき $\triangle\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形であることを証明せよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1239533p6321060

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角のみに揃える

三角関数は「 $\cos$ と $\sin$ がまじった式を $\cos$ のみにする」「 $\theta$ と $2\theta$ がまじった式を $\theta$ のみにする」など，揃えることを意識して変形すると扱いやすくなります。
この問題の場合，「辺のみにする」「角のみにする」ですね。

まず準備として与式を少し整理しておきましょう。
両辺を $a+b$ 倍して，左辺に加法定理を使います。

\begin{align*}
&(a+b)(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=a\sin A\cos B-b\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow b\sin A\cos B=a\sin B\cos A\text{　……(1)}
\end{align*}

ここから $a$ , $b$ を消します。
外接円の半径を $R$ とおくと正弦定理から $a=2R\sin A$ , $b=2R\sin B$ がいえて，(1)は次のように書き換えられます。

\begin{align*}
&2R\sin B\sin A\cos B=2R\sin A\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow \cos B=\cos A\text{　……(2)}\quad (\because R\sin A\sin B\ne 0)
\end{align*}

$A$ , $B$ は 0 と $\pi$ の間の角なので(2)から $A=B$ がいえて $\triangle\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形です。

長さのみに揃える

$\sin A=\frac{a}{2R}$ , $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ などを使って(1)を辺の長さだけで書き直します。

\begin{align*}
&b\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=a\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[3pt]
\Leftrightarrow{}&b(c^2+a^2-b^2)=a(b^2+c^2-a^2)\\
\Leftrightarrow{}&(a-b)(a+b-c)(a+b+c)=0
\end{align*}

$a+b+c>0$ は明らか。三角不等式から $a+b>c$ も言えるので $a=b$ です。
これで $\triangle\mathrm{ABC}$ が二等辺三角形であることが言えました。

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