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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

冬期講習的なことやります

塾紹介

冬期講習として,12月と1月は平日の13:00〜14:50に集団指導クラスを設置します。このクラスについてのくわしい説明は,こちらの記事を御覧ください。

集団指導はじめます - 数学塾variée@吉祥寺

もともとあった水曜,土曜のクラスとあわせると,各曜日の授業時間は次のようになります。これらの中で自由に組み合わせができます。

月, 火, 木, 金 13:00〜14:50
13:00〜14:50 17:00〜18:50 19:00〜20:50
14:00〜15:50 16:00〜17:50

どんな問題を扱うかは生徒さんとの相談の上で決めさせていただきますが,基本的に演習形式でいきたいと思います。普段の勉強の力試しとして問題演習をしてみたい人におすすめします。入試も近いことですし,特に受験生が過去問をたくさん解くのに適しているかと思います。

授業料は高3以上が1コマ7000円,高2以下は1コマ6000円(税込み)です。

お申込み方法は通常の入塾方法と同じで,まずは variee.kjj@gmail.com までメールにてお申し込みください。面談と無料体験授業をお受けいただいた上で,受講するかどうかをご検討いただければと思います。くわしくはこちらの記事を御覧ください。

variee.hatenablog.com

正992角形から正多角形を作る(算数チャレンジ 992)

数学/中学入試 解いてみた

正992角形があります。この正992角形の992個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると,何通り作ることができるでしょうか。ただし,合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。

算数チャレンジ(http://www.sansu.org )の第992回を解きました。

正992角形から正 n 角形は  \dfrac{992}{n} 個作れるので,992の3以上の約数の集合を A として答えは  \displaystyle\sum_{n\in A} \dfrac{992}{n} 個です。

これをまともに計算すると通分が大変ですが,\dfrac{992}{n} 自身も992の約数であることを使うと楽に計算できます。えらく易しい問題でした。興味のある方はpdfを御覧ください。

解いてみた042.pdf - Google ドライブ

最小のWolstenholme素数だそうだが(2016 香港TST)

数学/数オリ 解いてみた

 n,\, n^2+10,\, n^2-2,\, n^3+6,\, n^5+36 がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。

2016年の香港のTSTの問題です。

まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが,個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。

Mathematicaを使って解いた後,手計算ではどうやるかも一応考えました。この場合,16843が素数であることを示さないと解けないのですが,チェックするべき素数は31個。受験生たちは一体どうやって解いたのか疑問が残りました。この数は最小のWolstenholme素数だそうですが……

興味のある方はpdfをどうぞ。

解いてみた046.pdf - Google ドライブ

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

数学/数オリ 解いてみた

a, b, c は正の実数であり, \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}=1 をみたしている。

 abc \leqq \dfrac{1}{8} を証明せよ。

2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。

分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。
n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理できます。

 (p+q)\left(\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}\right)\geqq \left(\sqrt{p}\cdot \sqrt{\dfrac{x}{p}}+\sqrt{q}\cdot \sqrt{\dfrac{y}{q}}\right)^2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2

他の地方では条件式を  \dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=1 に変えたものが出題されていたので,こちらの解説も書きました。興味のある方はpdfをどうぞ。

解いてみた045.pdf - Google ドライブ

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

数学/数オリ 解いてみた

 n(n+2)(n+4) の約数の個数が高々15個であるような自然数  n をすべて求めよ。

2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。

素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。
 15 < 16=(1+1)^4

 n(n+2)(n+4) が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって  f(n) を割り切る素数は高々3個です。3個の数をあらわすのに3つの素数しか使えないので, n の候補はかなりしぼられます。

一応,早稲田の問題が類題になっています。2004年の政治経済学部の問題です。

 n,\, n+2,\, n+4 がすべて素数であるのは  n=3 の場合だけであることを示せ。

興味のある方はこちらのpdfをどうぞ。
解いてみた044.pdf - Google ドライブ


早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)