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正992角形から正多角形を作る /「算数にチャレンジ!!」第992問

算数にチャレンジ!!

問題概略

正 992 角形があります。この正 992 角形の 992 個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると，何通り作ることができるでしょうか。
ただし，合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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d が約数なら \frac{n}{d} も約数

正 n 角形は \frac{992}{n} 個作れるので，992 の 3 以上の約数の集合を A として
\sum_{n\in A} \frac{992}{n} が答えです。

これをまともに計算するのは大変ですが， \frac{992}{n} 自身も 992 の約数であることを使うと楽に計算できます。

992=2^5\cdot 31 の約数は 1, 2, 4, 8, 16, 31, 32, 62, 124, 248, 496, 992。

たとえば正 4 角形は \frac{992}{4}=248 個できます。他も同様なので，求める個数は次のようになります。

992\times\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248}+\frac{1}{496}+\frac{1}{992}\right)=\text{528個}

約数の総和から引く

上の計算式において \frac{992}{4}=248 などはすべて 992 の約数です。
ということは，992 の約数の総和から \frac{992}{1}+\frac{992}{2}=1488 を引いたものが答えです。

(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+31)-1488=(2^6-1)\cdot 32-1488=\text{528個}


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