数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

 n(n+2)(n+4) の約数の個数が高々15個であるような自然数  n をすべて求めよ。

2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。

素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。
 15 < 16=(1+1)^4

 n(n+2)(n+4) が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって  f(n) を割り切る素数は高々3個です。3個の数をあらわすのに3つの素数しか使えないので, n の候補はかなりしぼられます。

一応,早稲田の問題が類題になっています。2004年の政治経済学部の問題です。

 n,\, n+2,\, n+4 がすべて素数であるのは  n=3 の場合だけであることを示せ。

興味のある方はこちらのpdfをどうぞ。
解いてみた044.pdf - Google ドライブ


早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

積の和が12k+1になる素数(2016 イベロアメリカン)

pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。

2016年のイベロアメリカンの問題です。

12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが言えます。

「2を含むかどうか」から考えはじめる人もいると思ったので,この方法でも解いてみました。簡単な問題ですが,解答が気になる人はpdfをどうぞ。

解いてみた043.pdf - Google ドライブ

正六角柱の断面(算数チャレンジ 991)

図のような底面が一辺の長さ 3 cm の正六角形で,高さが 8 cm の正六角柱 ABCDEF-GHIJKL があります。辺BH上に BP = 3 cm となる点Pをとりました。

3点A, P, Jを通る平面でこの立体を切断したところ,この平面は辺CIを点Qで切断しました。

このとき,QIの長さは何 cm であるかを求めてください。


f:id:variee:20161013225917p:plain

算数チャレンジ(http://www.sansu.org )の第991回を解きました。

平行な二平面 H , H2 を他の平面 H3 で切ったときの切り口は平行な2直線になることを使うと,断面の様子がわかります。もう1つのポイントは対称性です。△ABP が直角二等辺三角形であることを使います。

f:id:variee:20161013230028p:plain

一応,ベクトルでも解いてみましたが,幾何の方がずっと楽でした。興味のある方はpdfを見てください。

解いてみた039.pdf - Google ドライブ

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし,
f:id:variee:20161012193901p:plain
とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。

2013年のインドネシアの問題です。
見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。

Sの計算法は2つ考えられます。

  •  \left\{2+3+\cdots +(p-1)\right\}^3 を利用する。
  • 愚直に計算する。

f:id:variee:20161012194259p:plain

両方やってみましたが,前者の方が楽なようです。

Sを求めたあとは因数分解して,pの係数が整数であることを証明します。合同式と「連続n整数の積は n! の倍数」を使いました。

かなりMathematicaだのみで解いてしまったので,計算量を減らす方法も考えました。うまくやると,あっさり終わります。興味のある方はpdfをどうぞ。

解いてみた041.pdf - Google ドライブ

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。
 p(p^2-p-1)=q(2q+3)

2016年のクロアチアのTSTの問題です。

与式は px = qy の形なので
 p^2-p-1=kq,\, 2q+3=pk
とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。

判別式
 D=(k^2+2)^2-8(3k-2)=k^4+4k^2-24k+20
が平方数になる条件を求めるのが,本問最大のヤマです。

3次の項がないことに注目すると (k^2+1)^2 < D <(k^2+2)^2などで整数kの候補をしぼりこめます。

似た形のしぼりこみをする入試問題として,2011年の一橋後期の問題があります。

mを正の整数とする。 m^3+3m^2+2m+6はある正の整数の3乗である。mを求めよ。

クロアチアの問題に加えてこちらの解説も書いたので,興味のある方はpdfをどうぞ。
解いてみた038.pdf - Google ドライブ


一橋大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

一橋大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)