問題概略

3 つの異なる整数 $a$ , $b$ , $c$ があります。この 3 つの整数は次の条件をみたします。

（条件1） $a$ と $b$ の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 14

（条件2） $b$ と $c$ の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 15

（条件3） $a$ , $b$ , $c$ の最小公倍数は 2100

$a$ の値を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1204.html

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指数に注目

$2100=2^2\times 3\times 5^2\times 7$ なので $a$ , $b$ , $c$ に含まれる素数は 2, 3, 5, 7 だけです。
これらの指数に注目して解きます。ちょっと大げさかもしれませんが，次のようにおきます。
\begin{align*}
a &=2^{k_1}\times 3^{l_1}\times 5^{m_1}\times 7^{n_1}\\
b &=2^{k_2}\times 3^{l_2}\times 5^{m_2}\times 7^{n_2}\\
c &=2^{k_3}\times 3^{l_3}\times 5^{m_3}\times 7^{n_3}
\end{align*}

条件 3 は次のように表せます。
\begin{align*}
&\max\left\{k_1,\, k_2,\, k_3\right\}=2,\,
\max\left\{l_1,\, l_2,\, l_3\right\}=1,\, \\
&\max\left\{m_1,\, m_2,\, m_3\right\}=2,\,
\max\left\{n_1,\, n_2,\, n_3\right\}=1\mbox{　……(A)}
\end{align*}

条件1, 2の言い換え

条件1について

$14=2\times 7$ の約数は 1, 2, 7, 14 なので $a$ と $b$ の公約数の最初の 5 個は $(1,\, 2,\, \square,\, 7,\, 14)$ の形に書けて， $\square$ には 3 か 4 か 5 が入ります。

$\square=3$ のとき $(1,\, 2,\, 3,\, 6,\, 7,\, 14)$ になって，14 は 6 番目なので不適
$\square=4$ のとき $(1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14)$ になって条件をみたす
$\square=5$ のとき $(1,\, 2,\, 5,\, 7,\, 10,\, 14)$ になって，14 は 6 番目なので不適

$a$ と $b$ の公約数を小さい方から順に並べると $1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14,\, \cdots$ となるので，条件 1 は次のように表せます。
\begin{align*}
&k_1=k_2=2,\, \min\left\{l_1,\, l_2\right\}=0,\,
\min\left\{m_1,\, m_2\right\}=0,\,
n_1=n_2=1\mbox{　……(B)}
\end{align*}

条件2について

条件 2 についても同様に考えると， $b$ と $c$ の公約数の最初の 5 個は 1, 3, 5, 7, 15 だとわかります。
これを指数の条件に直すと次のようになります。
\begin{align*}
&\min\left\{k_2,\, k_3\right\}=0,\,
l_2=l_3=1,\, \min\left\{m_2,\, m_3\right\}\geqq 1,\,
n_2=n_3=1\mbox{　……(C)}
\end{align*}

$m_2$ , $m_3$ の条件が $\min\left\{m_2,\, m_3\right\}=1$ でないのは $\min\left\{m_2,\, m_3\right\}=2$ でもかまわないからです。
この場合， $b$ と $c$ の公約数は $1,\, 3,\, 5,\, 7,\, 15,\, 25,\, \cdots$ になって条件をみたします。

3数の決定

(A)～(C)で指数はほぼ決まります。

$k_1=k_2=2$ , $k_3=0$
$l_1=0$ , $l_2=l_3=1$
$m_1=0$ で $(m_2,\, m_3)=(1,\, 2),\, (2,\, 1),\, (2,\, 2)$
$n_1=n_2=n_3=1$

$a$ の値は $2^2\times 3^0\times 5^0\times 7^1$ の「28」です。
オマケとして $(a,\, b,\, c)$ も書いておきます。
\begin{align*}
(28,\, 420,\, 525),\, (28,\, 2100,\, 105), (28,\, 2100,\, 525)
\end{align*}

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2022-03-21

3点問題と4点問題の正解数が10組 /「算数にチャレンジ!!」第1039問

算数にチャレンジ!!

問題概略
1次不定方程式を解く

問題概略

マサルさんのテストの点数は ○○ 点でした。このテストは 1 問あたり 3 点か 4 点です。マサルさんは 3 点問題も 4 点問題も 1 問以上は解けていたそうです。

この話を聞いたトモエさんは「その点数だと，3 点問題と 4 点問題の正解数の組み合わせは 10 通り考えられるわね」とコメントしたそうです。
マサルさんの点数として考えられるもののうち，最も低いものを求めてください。テストは 100 点満点とは限りません。
http://www.sansu.org/used-html/index1039.html

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1次不定方程式を解く

3 点問題が $x$ 問，4 点問題が $y$ 問解けて $n$ 点だったとします。
\begin{align*}
3x+4y=n
\end{align*}

これの一般解を求めます。上の式と $3(-n)+4n=n$ を辺ごとに引くと
\begin{align*}
3(x+n)+4(y-n)=0
\end{align*}

3 と 4 は互いに素なので，一般解は次のようになります。 $k$ は整数です。
\begin{align*}
x+n=4k,\, y-n=-3k\quad \therefore x=4k-n,\, y=n-3k
\end{align*}

$x>0$ , $y>0$ から $k$ の範囲は $n/4< k< n/3$ です。

これをみたす整数 $k$ が 10 個ある $n$ の最小値が答えです。
$n/3-n/4+1=10$ から $n\approx 108$ と予想できて，あとはしらみつぶしです。

計算は省略しますが， $n=108$ のときは 8 個， $109\leqq n\leqq 114$ のときは 9 個， $n=115$ のときは 10 個なので答えは「115 点」です。

ちなみに条件をみたす $n$ は 12 個ありました。
\begin{align*}
n=115,\, 118,\, 119,\, 121,\, 122,\, 123,\, 124,\, 125,\, 126,\, 128,\, 129,\, 132
\end{align*}

variee.hatenablog.com

2022-03-18

変な約分がうまくいくケース /「算数にチャレンジ!!」第1046問

算数にチャレンジ!!

問題概略
不定方程式を解く
合同式を使う

問題概略

算数の苦手なマサルさんは分母，分子ともに 2 ケタの分数の約分を行うときに「分母の 10 の位の数と分子の 1 の位の数が同じだったとき約分してしまう」というクセがあります。
\begin{align*}
\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}
\quad \text{（例）}\ \frac{23}{37}=\frac{2}{7}
\end{align*}
ほとんどの場合は間違いとなってしまいますが，正しい結果になる場合もあります（上記の処理の結果， $3/6$ など，さらに約分が可能な分数になってもそれは「正しい結果」と判断します）。
このような分数すべての積を求めてください。
http://www.sansu.org/used-html/index1046.html

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不定方程式を解く

分母をはらって整理します。
\begin{align*}
\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c} &\ \Leftrightarrow\ c(10a+b)=a(10b+c)\\
&\ \Leftrightarrow\ 9ac+bc=10ab
\end{align*}

これをみたす $(a,\, b,\, c)$ を求めます。 $a$ , $b$ , $c$ はどれも 1 以上 9 以下です。

どの文字に注目して場合分けしても計算量は大差ないと思います。私は約分で消える $b$ の値で場合分けしました。

$b=1$ のとき $9ac-10a+c=0$ から
\begin{align*}
(9a+1)(9c-10)=-10
\end{align*}

これの解は $9a+1=10$ かつ $9c-10=-1$ のときの $(a,\, c)=(1,\, 1)$ だけです。

$b=2$ ～ $b=9$ の場合を同じ要領で解くと，条件をみたす $(a,\, b,\, c)$ は全部で 13 個ありました。

自明な $(k,\, k,\, k)\ (1\leqq k\leqq 9)$ 型が 9 個
自明でないものは $(1,\, 6,\, 4)$ , $(1,\, 9,\, 5)$ , $(2,\, 6,\, 5)$ , $(4,\, 9,\, 8)$ の 4 個

自明な場合の分数はすべて $1/1=1$ なので積に影響しません。自明でない場合の $a/c$ の積を求めればよくて，答えは「 $1/100$ 」です。
\begin{align*}
\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{8}={\frac{1}{100}}
\end{align*}

合同式を使う

合同式を使って解の候補をしぼりこむことができます。
$9ac+bc=10ab$ を $\bmod\, 9$ で考えます。
\begin{align*}
bc\equiv ab\ \Leftrightarrow\ b(a-c)\equiv 0
\end{align*}

「 $b\equiv 0$ 」「 $a-c\equiv 0$ 」「 $b\equiv a-c\equiv 3$ 」「 $b\equiv a-c\equiv -3$ 」の 4 つの場合が考えられます。

$1\leqq b\leqq 9$ と $-8\leqq a-c\leqq 8$ を考えると，これは少し整理できてそれぞれ次のようになります。

「 $b=9$ 」「 $a=c$ 」「 $(b,\, a-c)=(3,\, 3),\, (3,\, -6)$ 」「 $(b,\, a-c)=(6,\, -3),\, (6,\, 6)$ 」

ア） $b=9$ のとき

$9ac+bc=10ab$ は $ac+c=10a$ になります。これは $(a+1)(c-10)=-10$ と変形できます。
\begin{align*}
(a+1,\, c-10)=(2,\, -5),\, (5,\, -2)\quad \therefore (a,\, c)=(1,\, 5),\, (4,\, 8)
\end{align*}