分数型漸化式の極限（2016 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題

実数からなる数列 \{a_n\} は a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2+a_n} をみたしている。


(1)　 0 < a_1 < 1 のとき a_n は増加列であり， \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1 であることを証明せよ。

(2) 　 a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり， \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1 であることを証明せよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239527p6320959

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一般項を求める解法

出題者は「単調で有界な数列は収束する」で解いてほしかったのかもしれませんが，一般項を求める方が自然だと思うので，まずは一般項を使って解きます。

a_1\ne 0 のときつねに a_n\ne 0 なのは明らかで，与えられた漸化式の逆数がとれます。

\begin{align*}
&\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2+a_n}{3a_n}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}\\
&\therefore \frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)\\
&\therefore \frac{1}{a_n}=1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{a_1}-1\right)
\end{align*}

a_1 によらず \lim_{n\to\infty} a_n=1 です。次は増減を調べます。

(1)　 0< a_1< 1 のとき \frac{1}{a_1}-1>0 なので \frac{1}{a_n} は正の減少列です。
よって a_n は増加列。

(2)　 a_1>1 のとき 1< \frac{1}{a_1}-1< 0 なので \frac{1}{a_n} は正の増加列です。
よって a_n は減少列。

一般項を求めない解法

a_n と a_{n+1}, 1 との大小を比較します。

\begin{align*}
&a_{n+1}-a_n=\frac{3a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{-a_n{}^2+a_n}{2+a_n}=\frac{a_n(1-a_n)}{2+a_n}\\
&a_{n+1}-1=\frac{3a_n}{2+a_n}-1=\frac{2(a_n-1)}{2+a_n}
\end{align*}

0< a_1< 1 のときも a_1>1 のときも \{a_n\} の各項はつねに正なので次のことが言えます。

  • a_{n+1}-a_n は 1-a_n と同符号 \text{　……(A)}
  • a_{n}-1 は定符号 \text{　……(B)}

あわせると「 a_{n+1}-a_n はすべての n で 1-a_1 と同符号」 \text{　……(C)} です。

(1)　 0< a_1< 1 と(C)よりつねに a_{n+1}-a_n>0 なので a_n\} は増加列です。

また，(B)より a_n-1 は a_1-1\ (< 0) と同符号なので a_n< 1 もいえます。

上に有界な増加列は収束します。極限値を \alpha とおくと

\alpha=\frac{3\alpha}{2+\alpha}\quad \therefore \alpha=0,\, 1

\{a_n\} は正の増加列なので \alpha=0 は不適。
\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha=1 です。

(2)　(1)とほとんど同じ。不等号の向きが逆になるだけですね。

a_1>1 と(C)よりつねに a_{n+1}-a_n< 0 なので \{a_n\} は減少列。
(B)から a_n>1 も言えます。

下に有界な減少列は収束します。極限値を \beta とおくと

\beta=\frac{3\beta}{2+\beta}\quad \therefore \beta=0,\, 1

a_n>1 より \beta\geqq 1 なので \beta=1
つまり \lim_{n\to\infty} a_n=1 です。

その他

他に y=\frac{3x}{2+x} のグラフと y=x のグラフを使って a_n の増減を調べる方法も考えられます。
ただ，この解法は大学入試ではあまり好ましくないとされていて，参考書などでも別解ではなく参考扱いされているので割愛します。


variee.hatenablog.com

条件を角のみ，長さのみにする（2016 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略

\triangle\mathrm{ABC} において \mathrm{AB}=c, \mathrm{BC}=a, \mathrm{CA}=b とおく。


\sin (A-B)=\dfrac{a}{a+b}\sin A\cos B-\dfrac{b}{a+b}\sin B\cos A


が成立するとき \triangle\mathrm{ABC} は二等辺三角形であることを証明せよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1239533p6321060

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角のみに揃える

三角関数は「 \cos と \sin がまじった式を \cos のみにする」「 \theta と 2\theta がまじった式を \theta のみにする」など，揃えることを意識して変形すると扱いやすくなります。
この問題の場合，「辺のみにする」「角のみにする」ですね。

まず準備として与式を少し整理しておきましょう。
両辺を a+b 倍して，左辺に加法定理を使います。

\begin{align*}
&(a+b)(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=a\sin A\cos B-b\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow b\sin A\cos B=a\sin B\cos A\text{　……(1)}
\end{align*}

ここから a, b を消します。
外接円の半径を R とおくと正弦定理から a=2R\sin A, b=2R\sin B がいえて，(1)は次のように書き換えられます。

\begin{align*}
&2R\sin B\sin A\cos B=2R\sin A\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow \cos B=\cos A\text{　……(2)}\quad (\because R\sin A\sin B\ne 0)
\end{align*}

A, B は 0 と \pi の間の角なので(2)から A=B がいえて \triangle\mathrm{ABC} は二等辺三角形です。

長さのみに揃える

\sin A=\frac{a}{2R}, \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} などを使って(1)を辺の長さだけで書き直します。

\begin{align*}
&b\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=a\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[3pt]
\Leftrightarrow{}&b(c^2+a^2-b^2)=a(b^2+c^2-a^2)\\
\Leftrightarrow{}&(a-b)(a+b-c)(a+b+c)=0
\end{align*}

a+b+c>0 は明らか。三角不等式から a+b>c も言えるので a=b です。
これで \triangle\mathrm{ABC} が二等辺三角形であることが言えました。


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2016乗の積分（2016 インド統計大学）

大学入試（海外）

問題概略

f(x) は微分可能な関数であり， 0 \leqq x \leqq 1 をみたすすべての x に対して f(f(x))=x が成り立つ。また， f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。


\displaystyle\int_0^1 (x-f(x))^{2016} dx

https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239510p6320819

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置換あるのみ

2016 に意味はなさそうなので N=2016 として積分を I とおきます。

I=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^{N} dx

この手の積分は置換ですね。 z=f(x) とおきます。

f\left(f(x)\right)=x\text{　……(1)} より f(z)=x なので dx=f'(z)\, dz

(1)で x=0 とすると f\left(f(0)\right)=0 です。
f(0)=1 を使うと f(1)=0 を得ます。

x:0\to 1 のとき z=f(x) は f(0)=1\to f(1)=0 と変化します。

これらを使って I を変形します。

I=\int_1^0 \left\{f(z)-z\right\}^N f'(z)\, dz

=-\int_0^1 \left\{z-f(z)\right\}^N f'(z)\, dz\quad (\because \text{$N$は偶数})

これに元の I を加えると特殊基本関数になります。
\begin{align*}
2I &=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{1-f'(x)\right\} dx\\
&=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{x-f(x)\right\}' dx\\
&=\left[\frac{1}{N+1} \left\{x-f(x)\right\}^{N+1}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{N+1}\left[\left\{1-f(1)\right\}^{N+1}-\left\{0-f(0)\right\}^{N+1}\right]\\
&=\frac{2}{N+1}
\end{align*}

\begin{align*}\therefore I=\frac{1}{N+1}=\frac{1}{2017}\end{align*}


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