問題 (1)前半について 原始関数を予想する 置換する (1)後半について (2)について 問題 解答は該当する解答群から最も適当なものを一つ選べ。自然対数の底を として，以下の問いに答えよ。(1) を積分定数として，指数関数と単項式の不定積分について，次式が…
問題 解答 楽に解こう 三角関数の略記 答えの予想と通分 最小値 最大値 sin を置換したらどうなるか 問題 (1) 三角関数について，次の関係式が成り立つ。\begin{align*} &\cos 2\theta=\fbox{アイ}\sin^2\theta+\fbox{ウ}\\ &\sin 3\theta=\fbox{エオ}\sin^3…
問題概略 お品書き 解法1：合成変換を考える 解法2：逆変換を考える 解法3：平均からのずれに注目する 解法4：規則性に注目 おまけ：mathematica で解く 問題概略 ア，イ，ウの 3 つのコップの中に水が入っていて，イとウの水の量は同じでアだけは量が異なっ…
問題概略 逆数の和の方程式に直す 問題概略 正の偶数 の相異なる約数を 3 つ選んでそれらの和を求めたところ， のちょうど半分でした。 にはこのような 3 つの約数の選び方が 6 通りあります。 の最小値を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/in…
問題概略 対称性を利用して数える 文字固定して数える 問題概略 36 個のアメ玉をマサルさん，トモエさん，マサヒコさんの 3 人で分けることになりました。 1 個ももらえない人はいない もらえる個数はマサヒコさんが一番多く，トモエさんがその次に多く，マ…
問題概略 全部書く（解法１） 二項係数であらわす（解法２） 首位の数字を固定 公式を使って改善 一般化 漸化式（解法３） 右に1桁足して立式 行列で書いて一般項を求める 問題概略 次の条件をみたす整数の個数を求めてください。 10000 以上 99999 以下 各…
問題概略 合同式を使おう 問題概略 1 以上 100 以下の整数 , があります。 が偶数で が 5 の倍数となるような は何組あるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1036.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをど…
問題 (1)について (2)について f(β) の計算 問題 実数 , , が , をみたすとする。(1) の最小値を求めよ。(2) のとき， が最大となる の値を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com (1)につい…
問題 (1)について 一般項について (2)について 問題 1 以上 6 以下の 2 つの整数 , に対し，関数 を次の条件(ア), (イ), (ウ)で定める。 (ア) (イ) (ウ) 以下の問いに答えよ。(1) , のとき， を求めよ。(2) 1 個のさいころを 2 回投げて，1 回目に出る目を …
問題概略 1 から 12 までの整数が書かれたカードが 1 枚ずつ，全部で 12 枚あります。 これらのカードをよく切ってマサルさんと花子さんに 6 枚ずつ配ります。2 人はそれぞれのカードを見せあい，次の作業を行います。 （作業）マサルさんは手持ちの 6 枚の…
問題概略 3桁の場合 一般の n 桁の場合 問題概略 10 桁の整数 と があって をみたしています。 の各位の数の和と の各位の数の和の合計として考えられる値のうち，大きい方から 3 番目にあたる数を求めてください。http://www.sansu.org/used-html/index1007…
問題概略 連立合同式 1 次不定方程式に直す できるだけ合同式のまま解く 問題概略 10 桁の整数 があります。この について\begin{align*} a&=\text{(各位の数の和)}\\ b&=\text{(前から奇数番目の位の数の和)}-\text{(前から偶数番目の位の数の和)} \end{ali…
問題概略 格子点を数える a を固定して数える 正攻法 余事象 b を固定して数える 全部書く 問題概略 中の見えない袋の中に 1～50 の番号の書かれたボールが入っています。この中から 1 個のボールを取り出して，そこに書かれた数を として記録します。 この…
問題 増加関数とその逆関数 (1)について (2)について (3)について f(x) が増加関数でないとき 問題 を 1 より大きい実数とする。このとき，次の問いに答えよ。(1) 関数 と のグラフの共有点は，存在すれば直線 上にあることを示せ。(2) 関数 と のグラフの共…
問題 解答・解説 分母について 分子について 結論 問題 を 2015 以下の正の整数とする。 が偶数となる最小の を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 解答・解説 を展開（？）すると分数式…
問題 座標をとろう (1)について (2)について 問題 1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD において，辺 BC 上に B とは異なる点 P を取り，線分 AP の垂直 2 等分線が辺 AB，辺 AD またはその延長と交わる点をそれぞれ Q，R とする。(1) 線分 Q Rの長さを を用いて表…
問題 p の範囲を絞り込む 偶奇に注目する q の範囲を絞り込む 問題 , を自然数，, を , をみたす実数とする。このとき をみたす , の組 をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com p の…
問題 解答・解説 (1)について (2)について 問題 次の問いに答えよ。ただし， であることは用いてよい。(1) 100 桁以下の自然数で，2 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。(2) 100 桁の自然数で，2 と 5 以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 …
問題概略 解答 おまけ1：合同式を使って一般解を探す おまけ2：一般化 問題概略 マサルさんとトモエさんが次のような計算をしました。 マサルさんは連続する 11 個の自然数の和を求めて 13 を引きました。 トモエさんは連続する 13 個の自然数の和を求めて 1…
問題 特殊なケースをつぶす 実験して証明 問題 素数 , を用いて と表される素数をすべて求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 特殊なケースをつぶす まずは特殊なケースとして「 でもいいか…
問題 a, b の連立方程式を導く 連立方程式を解く 問題 複素数を係数とする 2 次式 に対し，次の条件を考える。 （イ） は で割り切れる。（ロ） の係数 , の少なくとも一方は虚数である。 この 2 つの条件(イ)，(ロ)を同時にみたす 2 次式をすべて求めよ。 …
問題概略 基本方針 mathematicaで解く 問題概略 6 枚のカードにそれぞれ異なる 1 以上の整数が書かれています。 この 6 枚から 2 枚を取り出す方法は 15 通りありますが，それらすべてについて 2 つの数の差が異なっていました。6 枚のカードに書かれた数の…
問題 解答・解説 問題 とおき，自然数 に対してと定める。以下の問いに答えよ。 ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。(1) , の値を求めよ．(2) とする。積 を， と を用いて表せ。(3) は自然数であることを示せ。(4) と の最大公約数を求めよ。 解説の pdf…
問題概略 題意を正確にとらえる 5 と 2 を作る mathematica で解く 問題概略 4 枚のカードに 1 から 9 までのいずれかの整数を記入します。同じ数を複数回記入しても構いません。 できた 4 枚のカードをすべて使って掛け算と割り算だけの計算式を作り，答え…
問題概略 解説 問題概略 一の位の数と千の位の数がともに 1 であるような 4 桁の整数のうち，7 で割ると 3 余るものはいくつあるでしょうか。http://www.sansu.org/used-html/index1099.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこち…
問題 平方して置換して理系微分 置換して文系微分 問題 曲線 上の点 P における接線は 軸と交わるとし，その交点を Q とおく。 線分 PQ の長さを とするとき， が取りうる値の最小値を求めよ。 の最小値を求める問題です。 そのまま微分しても解けますが，平…
問題概略 全パターン調べる 元ネタ（？）について 問題概略 正五角形の各頂点に丸い枠があり，その 1 つに 1 が記入されています。残りの 4 つの枠（時計回りにア～エとします）にもそれぞれ数が記入されています。隣どうしでつながっているいくつかの数（1 …
問題 解説 問題 2 つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を， 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。 ただし， と は領域を囲む線とは考えない。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.go…
問題概略 3で割った余りに注目して数える おまけ：累積和 問題概略 1 から 6 までの数が書かれたカードが 1 枚ずつ，計 6 枚あります。一辺の長さ 1 の正三角形 ABC の頂点 A からスタートして，カードを 1 枚選んでそのカードに書かれた数だけ反時計回りに…
問題 (1)について (2)について 問題 (1) を実数とするとき， を通り， に接する直線がただ 1 つ存在することを示せ。(2) として， について， を通り， に接する直線の接点の 座標を とする。このとき， を求めよ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイア…
