問題
実数 
, 
が 
と 
をみたすとき，不等式
が成り立つことを示せ。
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
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三角関数で置換
倍角公式
とおきます。
\begin{align*}
\sqrt{1-x^2} &=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\sin^2\alpha}\\
&=|\sin\alpha|=\sin\alpha\\
\sqrt{1-y^2}&=\sin\beta
\end{align*}
示すべき不等式の中辺を 
とおきます。これは倍角公式が使える形をしています。
\begin{align*}
P&=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta
+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\mbox{ ……(1)}\\
&=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}
-2\cdot\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\cdot\frac{1+\cos 2\beta}{2}
+\frac{1}{2}\sin 2\alpha \sin 2\beta\\
&=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha\cos 2\beta+\sin 2\alpha \sin 2\beta)=\frac{1}{2}\left\{1-\cos(2\alpha+2\beta)\right\}
\end{align*}
より 
です。証明終わり。
類題と図形的意味
類題が 1991 に京大理系後期の第 3 問として出題されています。
空間に原点を始点とする長さ1のベクトル 
, 
, 
がある。
, のなす角を 
，, のなす角を 
，, のなす角を 
とするとき，つぎの関係の成立することを示せ。
またここで等号の成立するのはどのような場合か。
この不等式の中辺を 
とおきます。
, , が作る平行六面体の体積を 
とすると
が言えて*1 
です。
各辺の長さが 1 なので体積 の最大値は , , が互いに直交するときの 1 です。
このとき は最小値 0 をとります。
の最小値は平行六面体がつぶれるとき，つまり , 
, が同一平面上にあるときの 0 です。
このとき は最大値 1 をとります。
「3 次元の問題で体積なら，2 次元（2 変数）の問題は面積のはず」と考えたらうまく解けました。
, 
とおきます。
\begin{align*}
&|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2\\
&=1-(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})^2\\
&=1-x^2y^2-(1-x^2)(1-y^2)+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\\
&=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=P
\end{align*}
と が作る平行四辺形の面積を 
とします。
より 
なので です。証明終わり。
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（
,
,
,
は桁数字。以下同様）は
をみたします。
を求めてください。
