数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

2018 China Northern (grade 10) 第2問

2018 China Northern Math Olympiad の第 2 問を解きました。grade 10 とあったので高校1年生くらいが対象なんでしょうか? ジュニア大会みたいなものだろうと思います。

0 以上の実数  a,\, b,\, c は次の等式をみたす。
 a^2+b^2+c^2+ab+\frac{2}{3}ac+\frac{4}{3}bc=1

 a+b+c の最大値と最小値を求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1680069p10709496

与式は回転楕円面です。これと平面  a+b+c=k が共有点をもつような  k の最大値と最小値を求めるために「2次曲線の標準化」の要領で与式を変形していきます。

3 通りの方法で解きました。

  1. 置き換えていって,2次方程式の実数解条件に帰着させる
  2. 円と直線が共有点をもつ条件に帰着させる
  3. ラグランジェの未定乗数法で答えを出した後,平方完成でごまかす

pdf を置いておくので,興味のある人は見てみてください。

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