数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

2014新潟大学/確率

2014年の新潟大学の確率の問題について書きます。普通に数えても解けますが,20 と 30 が 2, 5, 10 の倍数であることを使うと楽に解けます。

A の箱には 1 から 20 までの整数が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードが入っている。

B の箱には 1 から 30 までの整数が 1 つずつ書かれた 30 枚のカードが入っている。

A, B の箱から 1 枚ずつカードを取り出し,取り出した 2 枚のカードに書かれた整数の和を X とおく。このとき,次の問いに答えよ。

(1) X が 2 の倍数となる確率を求めよ。

(2) X が 2 の倍数であるが 5 の倍数でない確率を求めよ。

(3) X が 5 の倍数となる確率を求めよ。

(4) X が 2 の倍数にも 5 の倍数にもならない確率を求めよ。

A, Bから取り出した数字を a, b であらわして,X = k となる確率を P(k) であらわします。各問の答えは順に
 P(2),\, P(2)-P(10),\, P(5),\, 1-P(2)-P(5)+P(10)
です。

P(5) の計算

P(5) を求めてみましょう。A, Bのカードを5で割った余りでグループ分けします。
\begin{align*}
&A_0=\left\{5,\, 10,\, 15,\, 20\right\},\,B_0=\left\{5,\, 10,\, 15,\, 20,\, 25,\, 30\right\},\,\\
&A_1=\left\{1,\, 6,\, 11,\, 16\right\},\,B_1=\left\{1,\, 6,\, 11,\, 16,\, 21,\, 26\right\},\,\\
&\quad \cdots\\
&A_4=\left\{4,\, 9,\, 14,\, 19\right\},\,B_4=\left\{4,\, 9,\, 14,\, 19,\, 24,\, 29\right\}
\end{align*}

20, 30 は 5 の倍数なので,どのグループも同じ個数の要素をもちます。

「A0 と B0 から各 1 枚」「A1 と B4 から各 1 枚」……のように選ぶと X=a+b は 5 の倍数になります。どの a に対しても b が同じ個数選べることに注目しましょう。

  • a はなんでもよい(確率1)
  • b は a に応じて選べる (確率 1/5)

これらをかけて

 P(5)=1\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}

同じように考えると

 P(2)=1\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},\, P(10)=1\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}

あとはこれらを足し引きすればよく,各問の答えは次のようになります。

 \dfrac{1}{2},\, \dfrac{2}{5},\, \dfrac{1}{5},\, \dfrac{2}{5}

普通に数えるなら

(a, b) は 20 x 30 = 600 通りあり,条件をみたす組を全部書き出すのは現実的ではありません。適当に記号でおいて数えます。P(10) を求めてみましょう。

X=10 となるのは (a, b) = (k, 10-k) のときです。

 1\leqq a\leqq 20,\, 1\leqq b\leqq 30 より  1\leqq k\leqq 9 なので,これは 9 通り。

以下同様で,次のような組があります。

  • (k, 20-k) (1 ≦ k ≦ 19)
  • (k, 30-k) (1 ≦ k ≦ 20)
  • (k, 40-k) (10\ ≦ k ≦ 20)
  • (20, 30)

全部で 9+19+20+11+1=60 通りあるので

 P(10)=\dfrac{60}{600}=\dfrac{1}{10}

P(5) も同じ要領で求められますが,場合分けが大変です。ここは剰余に注目したいところです。