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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

地元の大学の問題を見てみたら

旺文社の『全国大学入試問題正解』(通称「電話帳」)をパラパラやっていたら,地元の弘前大学の問題が目に入りました。医学部の問題がわずか3問しかなく,しかも超易しいことに驚きました。

第1問

(1) 関数  y=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x} のグラフの概形をかけ。


(2) 定積分  \int_1^2 x\sqrt{2-x} dx を求めよ。

(1)は微分するだけ。不連続点前後の極限にふれることがポイントかな。グラフはこうなります。

f:id:variee:20161110215707p:plain

(2)は置換積分です。「 \sqrt{ax+b}=t とおけ」の定石通り  \sqrt{2-x}=t とおきます。

第2問

(1) 関数  f(x)=x(x^2-4x+3) の極値を求めよ。

(2)  k を定数とするとき,方程式  x|x^2-4x+3|=k の異なる実数解の個数を求めよ。

これはパラメータ分離ですね。(2)のグラフはこうなります。これと  y=k のグラフの交点数を求めて終わり。

f:id:variee:20161110215756p:plain

第3問

 x^2+y^2=1 上の点Pにおける接線を  l とする。点  A(6, 0) を通り, l に垂直な直線が, l と交わる点をQとする。 AQ\cdot PQ の最大値を求めよ。

 \angle PAx=\thetaとおくと
 AQ\cdot PQ=6\, |\sin\theta (6\cos\theta-1)|

f:id:variee:20161110215848p:plain

絶対値の中身は  3\sin 2\theta -\sin\theta と変形できます。これを微分してもいいですし,2乗して  \cos\theta=t とおいてもいいでしょう。私はこっちでやりました。

 \sin^2\theta (6\cos\theta-1)^2=(1-t^2)(6t-1)^2

これを  f(t) とおくと
 f'(t)=-(6t-1)(4t-3)(3t+2)

 t=-\dfrac{2}{3} で最大になります。

総評

以上3問で90分です。極値を与える  x が汚かったりして計算はそれなりに面倒ですが,かなり余裕をもって解けるでしょう。例年にくらべて易しかったそうですが,医学部入試としてこれってどうなのと思いました。医学部志望者にはもっと勉強させて頭を鍛えさせた方がいいんじゃない?

今年度入試から2次で理科がなくなることとあわせて,「こうまでしないと受験生を集められなくなったのか」と思ってしまいました。私の思い過ごしだといいんですが,2次で理科がない国立医学部は旭川医,弘前,秋田,鳥取,島根,徳島,宮崎と,やはり下位校なんですよね。

弘前大学 (2017年版大学入試シリーズ)

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