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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

麻雀の総当り対戦表(算数チャレンジ 993)

あるマージャン大会が行われました。マージャンとは4人1組で行われるゲームです。

この大会では,各参加者は他のすべての参加者とちょうど1回ずつ同じ組になって対戦するような試合の組み合わせになっていました。
参加者数として考えられる最小の人数は4人です(1試合だけ行われますね)。

では,参加者数として考えられる人数のうち6番目に少ないものを求めてください。

算数チャレンジ(http://www.sansu.org)の第993回を解きました。

必要条件から考えます。N人の参加者がn回ずつ麻雀するものとすると

  •  N=3n+1
  • 総ゲーム数  \dfrac{n(3n+1)}{4} は整数

ここからNは12で割って余り1か4の数であることが必要だとわかります。小さい方から6番目の数は N = 37 です。

十分性のチェックは非常に難しく,試行錯誤で対戦表を作るのはほぼ不可能。厳密な証明は組合せデザイン理論の範疇です。正解者のほとんどは必要条件だけで答えを出したものと思われます。くわしいことはpdfを見てください。

解いてみた048.pdf - Google ドライブ