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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

a, b, c は正の実数であり, \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}=1 をみたしている。

 abc \leqq \dfrac{1}{8} を証明せよ。

2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。

分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。
n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理できます。

 (p+q)\left(\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}\right)\geqq \left(\sqrt{p}\cdot \sqrt{\dfrac{x}{p}}+\sqrt{q}\cdot \sqrt{\dfrac{y}{q}}\right)^2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2

他の地方では条件式を  \dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=1 に変えたものが出題されていたので,こちらの解説も書きました。興味のある方はpdfをどうぞ。

解いてみた045.pdf - Google ドライブ