数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

 n(n+2)(n+4) の約数の個数が高々15個であるような自然数  n をすべて求めよ。

2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。

素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。
 15 < 16=(1+1)^4

 n(n+2)(n+4) が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって  f(n) を割り切る素数は高々3個です。3個の数をあらわすのに3つの素数しか使えないので, n の候補はかなりしぼられます。

一応,早稲田の問題が類題になっています。2004年の政治経済学部の問題です。

 n,\, n+2,\, n+4 がすべて素数であるのは  n=3 の場合だけであることを示せ。

興味のある方はこちらのpdfをどうぞ。
解いてみた044.pdf - Google ドライブ


早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)