数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし,
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とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。

2013年のインドネシアの問題です。
見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。

Sの計算法は2つ考えられます。

  •  \left\{2+3+\cdots +(p-1)\right\}^3 を利用する。
  • 愚直に計算する。

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両方やってみましたが,前者の方が楽なようです。

Sを求めたあとは因数分解して,pの係数が整数であることを証明します。合同式と「連続n整数の積は n! の倍数」を使いました。

かなりMathematicaだのみで解いてしまったので,計算量を減らす方法も考えました。うまくやると,あっさり終わります。興味のある方はpdfをどうぞ。

解いてみた041.pdf - Google ドライブ