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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

数学/数オリ 解いてみた

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。
 p(p^2-p-1)=q(2q+3)

2016年のクロアチアのTSTの問題です。

与式は px = qy の形なので
 p^2-p-1=kq,\, 2q+3=pk
とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。

判別式
 D=(k^2+2)^2-8(3k-2)=k^4+4k^2-24k+20
が平方数になる条件を求めるのが,本問最大のヤマです。

3次の項がないことに注目すると (k^2+1)^2 < D <(k^2+2)^2などで整数kの候補をしぼりこめます。

似た形のしぼりこみをする入試問題として,2011年の一橋後期の問題があります。

mを正の整数とする。 m^3+3m^2+2m+6はある正の整数の3乗である。mを求めよ。

クロアチアの問題に加えてこちらの解説も書いたので,興味のある方はpdfをどうぞ。
解いてみた038.pdf - Google ドライブ


一橋大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

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