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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

不等式から関数決定(2013 インド統計大学)

実数から実数への関数 f は次の不等式をみたす。
\[|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2\]

 f(x)=\dfrac{x}{2}+c\(cは定数)であることを証明せよ。

2013年のインド統計大学の入試問題です。

答えが与えられていることをいかして,はじめは  g(x)=f(x)-\dfrac{x}{2} とおいて解きましたが,ヒントの有無は本質的ではありません。絶対値記号を外して導関数を計算すればノーヒントでも難なく解けます。ちなみに早稲田政経が類題を出しています。

相異なる任意の実数 a, b に対して,不等式
\[|\,f(a)-f(b)\,|<|a-b|^2\]

をみたす関数 f(x) がある。このとき,a = 0 にとり,いったん b を固定する。そして a, b でつくられる区間を n 等分し, f(x) が定数関数であることを示せ。

くわしいことはpdfを御覧ください。

解いてみた028.pdf - Google ドライブ


早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

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