数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

中点は格子点ではない(算数チャレンジ 989)

図のように正方形の土地の周囲および内部にア~ケの9本の杭(くい)を等間隔に打っています。

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この中から3本の杭を次の条件をみたすように選びます。

  • 杭どうしをひもで結ぶと三角形ができる。
  • できた三角形について,どの辺の中点にも杭がない。


たとえば「アとイとエ」を選んだときには条件をみたしますが,「アとウとオ」を選んだときにはアとウを結ぶ辺の中点に杭イがあるため条件をみたしません。

では,このような3本の杭の選び方は全部で何通りあるでしょうか。

算数チャレンジ( http://www.sansu.org )の第989回を解きました。

最初は三角形の形状で場合分けして地味に数えたのですが,これだとモレやダブリをおこしやすいので,点をグループ分けすることで効率よく数える方法を考えました。

最終的に行き着いたのは,「座標系をとって偶奇に注目する」というものです。1996年の早稲田大学・政治経済学部の第2問を思い出しますね。

xy平面においてx座標,y座標がともに整数である点 (x, y) を格子点という。いま,互いに異なる5個の格子点を任意に選ぶと,その中に次の性質をもつ格子点が少なくとも一対は存在することを示せ。

一対の格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点となる。

くわしいことはpdfを御覧ください。

解いてみた021.pdf - Google ドライブ


早稲田大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

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