分数型漸化式の極限（2016 インド統計大学）

問題
一般項を求める解法
一般項を求めない解法
その他

問題

実数からなる数列 $\{a_n\}$ は $a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2+a_n}$ をみたしている。

(1)　 $0 < a_1 < 1$ のとき $a_n$ は増加列であり， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1$ であることを証明せよ。
(2) 　 $a_1 > 1$ のとき $a_n$ は減少列であり， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1$ であることを証明せよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239527p6320959

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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一般項を求める解法

出題者は「単調で有界な数列は収束する」で解いてほしかったのかもしれませんが，一般項を求める方が自然だと思うので，まずは一般項を使って解きます。

$a_1\ne 0$ のときつねに $a_n\ne 0$ なのは明らかで，与えられた漸化式の逆数がとれます。

\begin{align*}
&\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2+a_n}{3a_n}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}\\
&\therefore \frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)\\
&\therefore \frac{1}{a_n}=1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{a_1}-1\right)
\end{align*}

$a_1$ によらず $\lim_{n\to\infty} a_n=1$ です。次は増減を調べます。

(1)　 $0< a_1< 1$ のとき $\frac{1}{a_1}-1>0$ なので $\frac{1}{a_n}$ は正の減少列です。
よって $a_n$ は増加列。

(2)　 $a_1>1$ のとき $1< \frac{1}{a_1}-1< 0$ なので $\frac{1}{a_n}$ は正の増加列です。
よって $a_n$ は減少列。

一般項を求めない解法

$a_n$ と $a_{n+1}$ , 1 との大小を比較します。

\begin{align*}
&a_{n+1}-a_n=\frac{3a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{-a_n{}^2+a_n}{2+a_n}=\frac{a_n(1-a_n)}{2+a_n}\\
&a_{n+1}-1=\frac{3a_n}{2+a_n}-1=\frac{2(a_n-1)}{2+a_n}
\end{align*}

$0< a_1< 1$ のときも $a_1>1$ のときも $\{a_n\}$ の各項はつねに正なので次のことが言えます。