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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

分数型漸化式の極限(2016 インド統計大学)

解いてみた 数学/大学入試

実数からなる数列 {a_n} は  a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2+a_n} をみたしている。


(1) 0 < a_1 < 1 のとき a_n は増加列であり, \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1 であることを証明せよ。


(2)  a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり, \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=1 であることを証明せよ。}

2016年のインド統計大学の入試問題です。

出題者は「増加列かつ上に有界だから収束」で解いてほしいようですが,この程度の漸化式なら一般項を求めてしまう方が楽そうです。一般項を求める解答と求めない解答の2通りを書きました。くわしいことはpdfを見てください。

解いてみた025.pdf - Google ドライブ