問題概略
において , , とおく。
が成立するとき は二等辺三角形であることを証明せよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1239533p6321060
解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。
角のみに揃える
三角関数は「 と がまじった式を のみにする」「 と がまじった式を のみにする」など,揃えることを意識して変形すると扱いやすくなります。
この問題の場合,「辺のみにする」「角のみにする」ですね。
まず準備として与式を少し整理しておきましょう。
両辺を 倍して,左辺に加法定理を使います。
\begin{align*}
&(a+b)(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=a\sin A\cos B-b\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow b\sin A\cos B=a\sin B\cos A\text{ ……(1)}
\end{align*}
ここから , を消します。
外接円の半径を とおくと正弦定理から , がいえて,(1)は次のように書き換えられます。
\begin{align*}
&2R\sin B\sin A\cos B=2R\sin A\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow \cos B=\cos A\text{ ……(2)}\quad (\because R\sin A\sin B\ne 0)
\end{align*}
, は 0 と の間の角なので(2)から がいえて は二等辺三角形です。
長さのみに揃える
, などを使って(1)を辺の長さだけで書き直します。
\begin{align*}
&b\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=a\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[3pt]
\Leftrightarrow{}&b(c^2+a^2-b^2)=a(b^2+c^2-a^2)\\
\Leftrightarrow{}&(a-b)(a+b-c)(a+b+c)=0
\end{align*}
は明らか。三角不等式から も言えるので です。
これで が二等辺三角形であることが言えました。