条件を角のみ,長さのみにする(2016 インド統計大学)

問題概略

 \triangle\mathrm{ABC} において  \mathrm{AB}=c,  \mathrm{BC}=a,  \mathrm{CA}=b とおく。


 \sin (A-B)=\dfrac{a}{a+b}\sin A\cos B-\dfrac{b}{a+b}\sin B\cos A


が成立するとき  \triangle\mathrm{ABC} は二等辺三角形であることを証明せよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1239533p6321060

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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角のみに揃える

三角関数は「 \cos \sin がまじった式を  \cos のみにする」「 \theta 2\theta がまじった式を  \theta のみにする」など,揃えることを意識して変形すると扱いやすくなります。
この問題の場合,「辺のみにする」「角のみにする」ですね。

まず準備として与式を少し整理しておきましょう。
両辺を  a+b 倍して,左辺に加法定理を使います。

\begin{align*}
&(a+b)(\sin A\cos B-\sin B\cos A)=a\sin A\cos B-b\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow b\sin A\cos B=a\sin B\cos A\text{ ……(1)}
\end{align*}

ここから  a,  b を消します。
外接円の半径を  R とおくと正弦定理から  a=2R\sin A,  b=2R\sin B がいえて,(1)は次のように書き換えられます。

\begin{align*}
&2R\sin B\sin A\cos B=2R\sin A\sin B\cos A\\
&\Leftrightarrow \cos B=\cos A\text{ ……(2)}\quad (\because R\sin A\sin B\ne 0)
\end{align*}

 A,  B は 0 と  \pi の間の角なので(2)から  A=B がいえて  \triangle\mathrm{ABC} は二等辺三角形です。

長さのみに揃える

 \sin A=\frac{a}{2R},  \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} などを使って(1)を辺の長さだけで書き直します。

\begin{align*}
&b\cdot\frac{a}{2R}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=a\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[3pt]
\Leftrightarrow{}&b(c^2+a^2-b^2)=a(b^2+c^2-a^2)\\
\Leftrightarrow{}&(a-b)(a+b-c)(a+b+c)=0
\end{align*}

 a+b+c>0 は明らか。三角不等式から  a+b>c も言えるので  a=b です。
これで  \triangle\mathrm{ABC} が二等辺三角形であることが言えました。


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