問題概略
は微分可能な関数であり, をみたすすべての に対して が成り立つ。また, である。次の積分の値を求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239510p6320819
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置換あるのみ
2016 に意味はなさそうなので として積分を とおきます。
この手の積分は置換ですね。 とおきます。
より なので
(1)で とすると です。
を使うと を得ます。
のとき は と変化します。
これらを使って を変形します。
これに元の を加えると特殊基本関数になります。
\begin{align*}
2I &=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{1-f'(x)\right\} dx\\
&=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{x-f(x)\right\}' dx\\
&=\left[\frac{1}{N+1} \left\{x-f(x)\right\}^{N+1}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{N+1}\left[\left\{1-f(1)\right\}^{N+1}-\left\{0-f(0)\right\}^{N+1}\right]\\
&=\frac{2}{N+1}
\end{align*}
\begin{align*}\therefore I=\frac{1}{N+1}=\frac{1}{2017}\end{align*}