2016乗の積分(2016 インド統計大学)

問題概略

 f(x) は微分可能な関数であり, 0 \leqq x \leqq 1 をみたすすべての  x に対して  f(f(x))=x が成り立つ。また, f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。


 \displaystyle\int_0^1 (x-f(x))^{2016} dx

https://artofproblemsolving.com/community/c7h1239510p6320819

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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置換あるのみ

2016 に意味はなさそうなので  N=2016 として積分を  I とおきます。

 I=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^{N} dx

この手の積分は置換ですね。 z=f(x) とおきます。

 f\left(f(x)\right)=x\text{ ……(1)} より  f(z)=x なので  dx=f'(z)\, dz

(1)で  x=0 とすると  f\left(f(0)\right)=0 です。
 f(0)=1 を使うと  f(1)=0 を得ます。

 x:0\to 1 のとき  z=f(x) f(0)=1\to f(1)=0 と変化します。

これらを使って  I を変形します。

 I=\int_1^0 \left\{f(z)-z\right\}^N f'(z)\, dz

 =-\int_0^1 \left\{z-f(z)\right\}^N f'(z)\, dz\quad (\because \text{$N$は偶数})

これに元の  I を加えると特殊基本関数になります。
\begin{align*}
2I &=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{1-f'(x)\right\} dx\\
&=\int_0^1 \left\{x-f(x)\right\}^N \left\{x-f(x)\right\}' dx\\
&=\left[\frac{1}{N+1} \left\{x-f(x)\right\}^{N+1}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{N+1}\left[\left\{1-f(1)\right\}^{N+1}-\left\{0-f(0)\right\}^{N+1}\right]\\
&=\frac{2}{N+1}
\end{align*}

\begin{align*}\therefore I=\frac{1}{N+1}=\frac{1}{2017}\end{align*}


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