平野塾@吉祥寺

積の和の最小値（2012 モルドバ JBMO TST）

数オリ

問題概略
最小値の見当をつける
214 を作れるか

問題概略

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $g$ , $h$ , $k$ は 1 以上 9 以下の相異なる整数である。
$E= abc + def + ghk$ の最小値を求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h467886p2619744

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

最小値の見当をつける

2012 年のモルドバのジュニアバルカン Team Selection Test の問題です。

多変数関数の最小値を問題というより組分けの問題ですね。
1 から 9 までの数を 3 つずつの組に分けて，組ごとの積の和 $E$ の最小値を求めます。

まずは相加相乗で下限を評価しましょう。

$E\geqq 3\sqrt[3]{abc\cdot def\cdot ghk}=3\sqrt[3]{9!}=36 \sqrt[3]{210}$

立方根の評価は面倒なので 3 乗して考えます。

$3^3\cdot 9!= 9797760,\, 213^3=9663597,\, 214^3=9800344$

$213< 3\sqrt[3]{9!}< 214$ で $E$ は整数なので $E\geqq 214$ です。

214 を作れるか

相加平均・相乗平均の関係の等号成立条件を考えると，
$E$ が最小になるのは $abc$ , $def$ , $ghk$ がほとんど同じ値をとるときのはずです。

3 つの数の積で $\frac{214}{3}=71.3\cdots$ に近い数を作れるかどうか調べます。

71 は素数なので作れません。
70 は $2\cdot 5\cdot 7$ のみ。
72 は $1\cdot 8\cdot 9$ や $3\cdot 4\cdot 6$ など。

$70+72+72=214$ なのでこれでうまくいきます。求める最小値は

$E=2\cdot 5\cdot 7+1\cdot 8\cdot 9+3\cdot 4\cdot 6=214$

mathematica で調べてみたのですが， $E=214$ を与えるのはこの
$\left\{1,\, 8,\, 9\right\}$ , $\left\{2,\, 5,\, 7\right\}$ , $\left\{3,\, 4,\, 6\right\}$ だけでした。

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