平野塾@吉祥寺

特定の場合を考えて◯倍（2015 東京学芸大学附属高校）

高校入試

問題概略

1, 2, 3 の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードの組を A, B, C の 3 人がそれぞれ 1 つずつ持っている。
3 人が同時にカードを 1 枚出すとき，出されたカードのうちの 2 枚だけが同じ数字の書かれたカードである確率を求めなさい。
ただし，3 人がどのカードを出すことも同様に確からしいとする。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

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特定の場合を考えて◯倍

こういう対称性の高い問題では「特定の場合を考えて◯倍」が使えます。
A, B, C のカードが順に 1, 1, 2 の場合を考えます。
この確率は $\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$ です。

次に対称性を考えます。

どの 2 人が一致するかが ${}_3\mathrm{C}_{2}=3$ 通り
どのカードが一致するかが 3 通り
一致しないカードの選び方が 2 通り

求める確率はこれらの積です。

$\frac{1}{27}\cdot 3\cdot 3\cdot 2=\frac{2}{3}$

余事象を考える

余事象は「3 人とも同じ（3 通り）」「3 人がバラバラ（ $3!=6$ 通り）」の計 9 通りです。

カードの出し方は全部で $3^3=27$ 通りなので，求める確率は

$1-\frac{9}{27}=\frac{2}{3}$

実はジャンケンと同じ

3 枚のカードはグー，チョキ，パーと対応づけできて，この問題は
「3 人でジャンケンするとき，1 人または 2 人勝つ確率を求めよ」と同じです。

「誰がどの手で勝つか」に注目すると解けます。

$\frac{{}_3\mathrm{C}_{1}\cdot 3+{}_3\mathrm{C}_{2}\cdot 3}{3^3}=\frac{2}{3}$

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