奇数の積の下3桁 /「算数にチャレンジ!!」第987問

1 以上 100 以下の奇数すべてをかけ算してできる数について，下 3 ケタを求めてください。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

このかけ算でできる数を $P$ とおきます。答えは $P$ を $1000=2^3\cdot 5^3$ で割った余りです。8 と 125 にわけて考えます。

$P$ は 5 で 3 回以上割りきれます。

$\text{$P$ は $5^3=125$ の倍数}\text{　……(1)}$

奇数を 8 で割った余りは 1, 3, 5, 7 を繰り返して周期 4 です。
奇数は全部で $50=4\times 12+2$ 個あるので，8 で割った余りは次のようにして計算できます。

$P\equiv (1\cdot 3\cdot 5\cdot 7)^{12}\cdot 1\cdot 3\equiv \left\{1\cdot 3\cdot (-3)\cdot (-1)\right\}^{12}\cdot 3\equiv 3\pmod{8}\text{　……(2)}$

さて， $P$ は奇数の積なので(1)において 125 の偶数倍は考える必要がありません。
(1)の時点で $P$ の下 3 桁の候補は 4 つにしぼられます。

$125,\, 375,\, 625,\, 875$

この中で 8 で割って 3 余る $875$ が答えです。

(1)(2)から $x$ , $y$ を整数として次のようにおけます。

$(P=)125x=8y+3$

計算は省略しますが，これの解は $x=8k+7$ , $y=125k+109$ です（ $k$ は 0 以上の整数）。
$P$ の式に代入すると

$P=125(8k+7)=1000k+875$

$P$ の下 3 桁は $875$ です。