数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

連立方程式 → 基本対称式, 交代式(2015 トルコ EGMO TST)

aは実数である。次の方程式をみたす実数の組(x, y)をすべて求めよ。
y^2 = x^3 + (a-1)x^2 + a^2x, x^2 = y^3 + (a-1)y^2 + a^2y

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。

与えられた式は f(x) = g(y), f(y) = g(x) 型の連立方程式です。「辺々足して基本対称式で置き換え」「辺々引いて x-y で割る(次数下げ)」で解けるはずです。コンテストでこういう受験数学っぽい問題が出題されるとは意外です。

詳細はpdfをどうぞ。

解いてみた008.pdf - Google ドライブ