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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

3次式, 4次式をみたす整数(2015 トルコ EGMO TST)

解いてみた 数学/数オリ

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。

m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。

mod 計算と思いきや,(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤しながら解きました。

私の計算では (m, n)=(2, 17), (0, -1), (-1, -1) となりましたが,
AoPSには(0, -1), (2, -17)とあり,Wolfram Alphaは(0, -1), (-1, -1)を返すというちょっと不安な結果になりました。

くわしくはこちらのpdfを参照してください。

解いてみた003.pdf - Google ドライブ