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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

xy+yz+zx=1と不等式(1994 香港TST)

解いてみた 数学/数オリ

久しぶりに数学の記事を書きます。

1994年の香港のIMO代表選抜試験(Team Selection Test = TST)の2日目第1問を解きました。

x, y, zは正の実数であり,xy+yz+zx=1をみたす。
次の不等式が成立することを証明せよ。

f:id:variee:20160904232713p:plain

左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。相加平均・相乗平均の関係を使うだけです。

これだけだと芸がないので,xy+yz+zx=1のとき
x=cot A, y=cot B, z=cot C (A, B, Cは三角形の内角)
とおけることを使う解答も考えました。

くわしくはこちらのpdfを参照してください。

解いてみた002.pdf - Google ドライブ

ブログで数式を扱うのは大変なので,今後は問題と簡単な説明だけ載せて,くわしいことはpdfを読んでもらう形にしたいと思います。


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