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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

正確な図を描こう

数学/数オリ

初等幾何の難問を解くにあたって正確な図を描くことは大事なんだなあと思ったので,記事にまとめたいと思います。

問題例

まず,2000年のインドの問題。

三角形ABC内接円と辺BC, CA, ABの接点をK, L, Mとおく。
Aを通ってLKに平行な直線とMKの交点をPとし,
Aを通ってMKに平行な直線とLKの交点をQとする。
PQはACを二等分することを示せ。

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実はPQは底辺BCと平行です。「なんとなく中点連結定理っぽいな」という感じがするでしょう。

接点条件や平行条件を使って角を書き込んでいくとAMKE, ALKDが等脚台形であることがわかり,AM=ALからDK=KE。ADとQK, AEとPKの平行条件からP, QはAD, AEの中点です。
あとは中点連結定理でおしまい。

フリーハンドで図を描くと,多分PQとBCは平行になりません。とりあえず角を書き込んで,相似や合同を探して……という流れになるでしょう。私は最初これでやりましたが,先が見えない感じがして難しく感じました。

次は2015年のカナダの問題。

鋭角三角形ABCの外心をOとする。円Γ(ガンマ)の中心はAからBCにおろした垂線上にあり,円Γと辺AB, ACの交点P, Qは BP x CQ = AP x AQ をみたす。
三角形OBCの外接円と円Γは接することを示せ。

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「BP x CQ = AP x AQ」をいじるだけでは解けません。正確な図を描いて「なぜこのような図が描けるのか」から考えるとよいと思います。「なぜP, Qが一意に定まるのか」を考えると,「BP x CQ = AP x AQ」の使いどころがわかります。

イラレで正確な作図

adobe illustrator で正確な図を描くコツは円を正確に作図することです。それには「斜めの線分の長さを正確に測ること」が必要です。

ウインドウ>ドキュメント情報>オブジェクト と進むと,パスの正確な長さがわかります。この長さを半径に使えば正確な外接円や内接円が描けます。
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昔はこの技を知らなくて,「ちょっと拡大」「ちょっと縮小」を繰り返していましたw

定規とコンパスで作図

定規は普通のものでOK。

コンパスは足が折れるものがおすすめです。私達がイメージする円は小学生が描く円よりもかなり小さいらしく,足が折れないコンパスは使いにくいです。

サンスター コンパス(片折れ芯タイプ) セクト BK S4051513

サンスター コンパス(片折れ芯タイプ) セクト BK S4051513

また,ステッドラーなどの高い製図用コンパスは鉛筆のかわりに針を使うので,数学向きではありません。

意外に便利なのが円形定規です。幾何の問題演習をするときは何度も円を描くので,いちいちコンパスを使っていられません。角度が書いてあるのも使いやすいです。

ステッドラー 円定規  976 02

ステッドラー 円定規 976 02

試験場ではどうするか

コンパスも定規も使えませんが,直線や直角が作れるものを持っていけばいいんじゃないかなあ。シャーペン芯のケースとか役立ちそうです。