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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

広中杯の問題で対数を使ってみた

2000年に行われた第1回広中杯トライアル*1の問題を考えてみました。こういう問題です(表現は大幅に変えてあります)。

2^2000 の桁数を a,5^2000の 桁数を b として a+b を求めよ。

(2^2000) x (5^2000) = 10^2000 を使うだろうことは見え見えで,さらに a, b が整数であることを使えば解けます。答えは2001。公式解答もこのやり方でした。

「でも,先取りして高2範囲の対数までやっている人なら log をとるんじゃないか?」と思ったので計算してみました。

{ \displaystyle
\log_{10}2^{2000}=2000 \log_{10}2
}

{ \displaystyle
\log_{10}5^{2000}=2000(1-\log_{10}2)
}

a, b はこれらの整数部分に1を加えたものです。高校数学では通常, \log_{10}2 の値として 0.3010 を使います。

{ \displaystyle
\log_{10}2^{2000}=602.0\cdots,\, \log_{10}5^{2000}=1398.0\cdots
}

a=603, b=1399 となって,和は 2002 です。正解は 2001 ですから,これは間違いです。正しい答えを得るには \log_{10}2=0.30103が必要です。こうすると b=1398 になって,a+b=2001 になります。ただし,この精度で近似値を覚えている人はまずいないだろうと思います。

本問は下手に高校数学を知っていると間違えてしまう問題だったわけです。広中杯の出題範囲は「原則的に中学校3年生1学期範囲」とされていて,高校数学を使うことは推奨されていないわけですが,なんだかなあと思います。後々のことを考えれば,高校数学くらい先取りした方が得だと思いますが。

*1:中学生向けの数学コンテスト