平野塾@吉祥寺

慈恵の問題を解いてみた

大学入試（日本）東京慈恵会医科大学

生徒から今年の東京慈恵会医科大学の問題をもらったので解きました。

第 2 問の山は $\log$ の積分です。

$\displaystyle\int_0^a \log(a^2+x^2)\, dx$

私はこうやりました。

$x = at$ と置換。式をきれいにする。
$\log$ の前に $(x)'=1$ を補って部分積分。定石です。
$t = \tan \theta$ と置換。 $\displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta=\frac{\pi}{4}$ にもちこむ。

要するに $x = a \tan\theta$ と置換しているわけですが，計算ミスを避けたかったので $a$ を消すステップを入れました。

第 3 問は 2 次関数の最大値の計算に帰着されます。 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ でつねに

$2bt^2-\sqrt{2}at-2b-4\leqq 0$

が成立する条件を求めます。定型処理ですが，結構面倒です。

計算ミスがとても痛いので $t = \sqrt{2} u$ と置換して $-1 \leqq t \leqq 1$ でつねに

$2bu^2-au-b-2\leqq 0$

が成立する条件を考えるといいかもしれないですね。

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