数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

答えの図に座標は必要?(2009 一橋)

授業で2009年の一橋の問題を扱いました。

p, q を実数とする。放物線 y=x^2-2px+q が,中心 (p, 2q) で半径1の円と中心 (p, p) で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域を xy 平面上に図示せよ。

「放物線と円が共有点をもつ」系では面倒なほうだと思います。私は

  1. 円の中心が原点になるように平行移動
  2. y の方程式が -1以上1以下の解をもつ条件を考える

で解き,生徒は

  1. 軸が y 軸になるように平行移動
  2. 上から接する条件,下から接する条件を考える

で解いていました。

ここまでは割と平和ですが,最後の図が面倒くさい。図の6点の座標はすべて分数で,√3 か √21 が入ります。図中に書き込むとものすごくうるさい図になります。


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座標計算に入ろうとする生徒を止めて,

「図示せよ」という指示は採点を楽にするためのものだろうから,あまり気にしなくてもいいのでは?

みたいな話をしました。この「採点を楽するため〜」は元同僚の受け売りです。1992年に大阪大学で

「(1)で求めた期待値が1/100以下となる最小の n を求めよ」

という問題が出ていて,

を解くだけなのが不思議だったのですが,彼の発言で納得しました。(1)で何の工夫もしないと,期待値は

となって,最後まで整理していない答案のチェックが大変だからこういう問題をつけたのだろうと思います。

普段,「グラフ,領域を図示せよ」に対しては

  • x, y, O を書け
  • 曲線の式か名前を書け
  • 交点や頂点などの代表点の座標を書け

と指導しているのですが,もう少しケース・バイ・ケースで対応しようと思いました。

ちなみに私が受験したときの東大にはこんな図が出ました。


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4つの3次関数で囲まれ,境界線は一部のみ含むという凶悪な図です。3次関数のグラフの上下関係を調べるだけでうんざりしてしまいますが,一受験生としては計算せざるをえませんでした(終わりませんでした)。いま考えると「図の斜線部のようになる。境界は実線部のみ含む」でよかったような気がします。


一橋大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)

一橋大学数学入試問題50年―昭和31年(1956)~平成17年(2005)